Hasse

AitJoseph · January 2020

> > Bonjour
> > Étant donné une Equation dans Z ou Q, E: X²+aX+b =0 ; avec a,b dans Z vérifiant certaines propriétés de modularité
> > On suppose que E possède une racine dans Z/pZ, pour certains premiers, existe-t-il une théorie
> > (Hasse) qui nous permet de conclure l'existence de racines dans Z, Q ?
> > Merci beaucoup

Je ne suis malheureusement pas spécialiste de ça. Je pense cependant qu'il doit exister un énoncé du style "s'il y a des racines pour suffisamment de nombres premiers alors il y a une solution dans Z". Ça ressemble effectivement à un principe local-global à la Hasse, mais comme il y a une seule variable, ça doit pouvoir se traiter plus élémentairement. Par exemple ce n'est pas très difficile de montrer qu'un entier est un carré si et seulement si c'est un carré modulo tout nombre premier. Je n'ai pas de référence, mais il y a des questions mathstackexchange proches.
Je demande de l'aide et MERCI

AitJoseph · January 2020

RIEN

Même pas une référence !

noix de totos · January 2020

Ici, cela me semble trop trivial pour qu'il y ait une "théorie" : en effet, comme ton polynôme est unitaire, s'il y a une racine rationnelle irréductible, alors elle est entière et divise $b$, ce qui donne un nombre fini de possibilités.

AitJoseph · January 2020

Merci noix de totos

Et si le polynôme était quelconque ?

noix de totos · January 2020

Pareil, sauf que tu changes "entière" dans mon message précédent par : "le dénominateur divise le coefficient dominant du polynôme et le numérateur divise $b$".

AitJoseph · January 2020

Je ne cherche pas à exhiber une solution , mais un algorithme pour affirmer l'existence d'au moins une solution .

Tonm · January 2020

Salut, ce n'est pas bien posé, si je prends ce polynôme à coefficients entiers, tout $X$ dans $\mathbb{Z}$ est une racine dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ pour un certain $p$.

Mais on n'a pas les racines dans $\mathbb{C}$ à moins de les calculer ou raisonner par critère de Einsenstein.

Si on a une infinité $X_p$ tel que le polynôme est congru à $0\pmod{ p}$ ce n'est pas donné aussi. $X^2+1= 0 \pmod {2} $ pour tout $X$ impaire.

AitJoseph · January 2020

@Tonm

Ce n'est pas clair

Tonm · January 2020

@AitJoseph, quel point c'est juste que pour $X$ entier le polynôme est à valeur entière, il sera égale à zero $\pmod{p}$ pour un certain $p$.

Edit j'ai zappé le sujet de la question. En fait si $p$ est un facteur du terme constant il a zéro comme racine dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sans peut être une racine dans $\mathbb{Q}$.

Hasse

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