Une petite question sur un nombre premier...

Bonjour,
Il serait peut-être judicieux de préciser un peu plus. Que calcule-t-on ?
Amicalement

Es-tu bien en train de parler de:

$\displaystyle A(k)=\left(\sum_{n=k+2}^{2k+1} n^2-n \right)-(k+1)(k+2),B(k)=\sum_{n=1}^k (n^2-n)$

?

$\dfrac{A(21)}{B(21)}=\dfrac{51}{7}$

PS:
Si vous ne me croyez pas, taper,

A(k)={sum(n=k+2,2*k+1,n^2-n)-(k+1)*(k+2)};
B(k)={sum(n=1,k,n^2-n)};
A(21)/B(21)

dans:
http://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

Bonjour,
J'ai fait les calculs à la main pour passer le temps, et on arrive facilement à trouver pour $k$ impair $$B(k)=\dfrac 1{12}(k^2-1)(2k+3),$$ puis $$A(k)=B(2k+1)-B(k)-(k+1)(k+2)=7B(k)\;.$$

Si tu admets un instant les résultats suivants, tu peux facilement y arriver :
Pour tout nombre entier naturel $p$, on a :
$$\sum_{m=1}^p m=\frac{p(p+1)}2$$
$$\sum_{m=1}^p m^2=\frac{p(p+1)(2p+1)}6$$

Je choisis un nombre entier naturel $k$ impair, il existe donc un nombre entier naturel $p$ tel que $k=2p+1$ (et donc $p=\dfrac{k-1}2$).
De même, si $n$ prend toutes les valeurs entières impaires de $1$ jusqu'à $k$, il peut s'écrire $n=2m+1$, avec $m$ allant de $0$ jusqu'à $p$.

\[\begin{array}{rl} B(k)=\sum_{\substack{n=1 \\ n\ \text{impair}}}^k n(n-1) & = \sum_{m=0}^p (2m+1)(2m+1-1) \\ & = \sum_{m=0}^p(4m^2+2m) \\
& = 4\sum_{m=1}^p m^2+2\sum_{m=1}^p m \\ & = \dfrac{4p(p+1)(2p+1)}6+p(p+1) \\ & = \dfrac{p(p+1)(4p+2)}3+\dfrac{3p(p+1)}3 \\ & = \dfrac{p(p+1)(4p+5)}3
\\ & = \dfrac 13\left(\dfrac{k-1}2\right)\left(\dfrac{k+1}2\right)(2(k-1)+5) \\ & = \dfrac 13\times \dfrac 12(k-1)\times\dfrac 12(k+1)(2k+3) \\ & = \dfrac 1{12}(k^2-1)(2k+3)\end{array}\]

Et là je vais me coucher ! Je terminerai demain pour $A(k)$, à moins que quelqu'un d'autre le fasse à ma place entre temps.

J'avais déjà donné ci-dessus une formule pour le numérateur $A$ quand $k$ est impair (pour $B$ aussi)
Une fois qu'on a une forme close probable (je me suis aidé de Wolfy et je l'ai vérifiée sur des valeurs) il ne doit pas être difficile d'en donner une démonstration par un raisonnement par récurrence.

Lourran: je suis bien d'accord, on peut très certainement bricoler une formule du même type pour que ce quotient soit un nombre non premier.
Peut-être même qu'on peut montrer que si on change la partie qu'on soustrait dans l'expression de $A$ on peut obtenir n'importe quelle valeur entière pour ce quotient. B-)-