Pgcd étendu à un nombre fini d'entiers

OShine · January 2020

Bonsoir
Je suis complètement bloqué sur le passage entouré en rouge. Je suis resté dessus pendant 40 min mais je n'arrive pas du tout à comprendre donc je sollicite votre aide. 95714

Fin de partie · January 2020

Il ne me semble pas que dans cet extrait soit définie la fonction $D$.

Dom · January 2020

Qu'est-ce qui serait contestable : le "comme" ou le "on en déduit" ?

La fonction $D(.)$ est "ensemble des diviseurs de" a priori.

Poirot · January 2020

Je ne vois pas le problème. On a établi $\mathcal D(a_0 \wedge d') = \mathcal D(a_0) \cap \dots \cap \mathcal D(a_k)$. L'ensemble de gauche contient tous les diviseurs de $a_0 \wedge d'$, c'est donc le plus grand élément de cet ensemble, et donc par définition c'est le PGCD de $a_0, \dots, a_k$.

Chaurien · January 2020

On peut même extendre (*) le PGCD à une infinité d'entiers.
Exemple d'exercice curieux : trouver le PGCD de tous les entiers $n^{13}-n$, $n \in \mathbb N$.
Le résultat est entre $2000$ et $3000$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
(*) Expression québécoise, semble-t-il.

nodgim · January 2020

2730 ( mais n doit être différent de 0 et 1).

Il suffit de regarder PGCD ( 2 ^13 - 2 ; 3 ^13 - 3 ) et de vérifier que ces facteurs premiers sont maintenus pour tout n.

Poirot · January 2020

Pour $n=0$ ou $n=1$ ça marche encore.

OShine · January 2020

@Poirot
Merci.

@Chaurien
Je m'attaquerai à ce genre d'exercice quand je maîtriserai déjà les exercices élémentaires.

Chaurien · January 2020

(tu) Nogdim
L'entier $2730 $ est bien le plus grand entier qui est un diviseur de tous les entiers $n^{13}-n$, $n \in \mathbb N$, y compris $n=0$ et $n=1$, puisque tout entier est un diviseur de $0$, merci Poirot.
Ceci n'a rien de très compliqué, le petit théorème de Fermat suffit.
Je trouve cet exercice joli, pas vous ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.

lourrran · January 2020

Amusant, et surtout inattendu !
2730, c'est 2*3*5*7*13 , donc le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à 13, sauf 11. Coïncidence ?
On a envie de savoir si on a un résultat plus ou moins similaire pour $n^{17}-n$ ou $n^{19}-n$

Chaurien · January 2020

Pour $n^{17}-n$ c'est $510$ et pour $n^{19}-n$ c'est $798$.
Le record suivant se produit pour $n^{31}-n$, c'est $14322$.
Voir https://oeis.org/A027760, où j'ai signalé cette propriété en 2002.
Et ce sont les dénominateurs des nombres de Bernoulli ! https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Staudt–Clausen_theorem
Les maths c'est comme la politique : c'est le domaine de l'inattendu.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Pgcd étendu à un nombre fini d'entiers

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