Syracuse et boucles
dans Arithmétique
Bonjour @ tous.
Montrer que, bien qu'on n'ait trouvé aucune autre boucle que 1 4 2, il existe une infinité de boucles si on remplace comme nombre initial un entier par une fraction positive à dénominateur impair.
Exemple : 227/13
>347/13
>527/13
>797/13
>601/13
>227/13
Montrer également qu'on peut trouver de ces boucles comportant autant de nombres que l'on veut.
En déduire le nombre mini de nombres dans la boucle éventuelle ayant un entier comme nombre initial, sachant qu'on n'a pas trouvé de boucle pour tout entier < 10 ^ 21.
Montrer que, bien qu'on n'ait trouvé aucune autre boucle que 1 4 2, il existe une infinité de boucles si on remplace comme nombre initial un entier par une fraction positive à dénominateur impair.
Exemple : 227/13
>347/13
>527/13
>797/13
>601/13
>227/13
Montrer également qu'on peut trouver de ces boucles comportant autant de nombres que l'on veut.
En déduire le nombre mini de nombres dans la boucle éventuelle ayant un entier comme nombre initial, sachant qu'on n'a pas trouvé de boucle pour tout entier < 10 ^ 21.
Réponses
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Voilà qui mérite le détour !
Côté emploi du temps ça va être la Cata, comme pour Syracuse$_\mathbb{N}$ ! -
Bonjour Nodgim et Soland
Il y a très longtemps ( j'étais au lycée ) , je m'étais amusé à définir la suite de Syracuse sur l'ensemble des rationnels dont le numérateur et le dénominateur étaient premiers avec 2 et 3 ( dans leur forme réduite ) . On peut alors former des boucles quasiment de la taille que l'on veut . Il y a plein d'autres choses qu'on peut faire mais c'est terriblement chronophage et comme beaucoup j'ai laissé tomber car je connais mes limites et parce que le quotidien me rappelle souvent à l'ordre .
Domi -
Salut DCh,
Vu qu'il n'y a que 2 questions précises, ça ne devrait pas prendre trop de temps, et ce n'est pas si difficile que ça, surtout pour le niveau des gens ici. Au moins la question 1 est très abordable et devrait être rapidement réglée. -
bonjour a tous. guede mathematicien amateur. voici la premiere etape. mais je n'arrive pas a trouver une suite logique pour le reste.
-
La question posée se résout sans l'aide de l'informatique....
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En fait, on est toujours dans $\N$, mais au lieu de dire $u_{n+1}=3u_n+1$ quand $u_n$ est impair, on dit $u_{n+1}=3u_n+k$ avec k impair.
k étant tout simplement le dénominateur si on présente le problème comme nogdim.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Bonjour!
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