Égalité ardue à démontrer

paul_aurel · February 2020

Bonjour
Je me permets de vous proposer une égalité qui semble être vraie mais dont j'ai un mal fou à démontrer.
Soit $t$ et $f$ deux entiers, il s'agit de démontrer l'égalité suivante. $$
\frac{\sum\limits_{i=1}^{t}\dfrac{(t!)^2\, (f!)^2\, i}{\big((t-i)!\big)^2\, i!\, (f-t+i)!\, t}}{(t+f-1)!\, t} = 1.

$$ Si vous avez une piste, je pourrais bien sûr finir le travail... Mais j'ai déjà passé une bonne partie de la matinée, et je ne suis probablement pas très bon...
Paul

LP · February 2020

Bonjour,
par exemple, montrer que la somme cherchée vaut \[\frac{(t-1)!f!}{(f+t-1)!}\sum_{k=0}^{t-1} \binom{t-1}{k}\binom{f}{t-1-k}\] puis utiliser l'identité de Vandermonde.
LP

Pea · February 2020

Autre méthode: en comptant de deux façons le cardinal de l'ensemble des paires $(A,x)$ avec $A$ un sous-ensemble de cardinal $t$ de $\{1,\ldots,f+t\}$ et $x\in A\cap \{ 1,\ldots,t\}$.

paul_aurel · February 2020

Merci à tous les deux pour votre aide et pour la célérité de vos réponses. J'ai pu finir le travail, en partant de la proposition de LP (merci Vandermonde) : la démonstration est faite.

Bonne journée à tous,
Paul

Égalité ardue à démontrer

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