Irrationnel
dans Arithmétique
Bonjour
Je dois montrer que racine7 est irrationnel, je pense à un raisonnement par l'absurde j'arrive à 7q^2=p^2 mais après ?
Puis que x^2 - 7 est irréductible dans Z[X] c'est lié à la question précédente mais je ne m'en sors pas.
Si quelqu'un peut m'aider ?
Merci
Je dois montrer que racine7 est irrationnel, je pense à un raisonnement par l'absurde j'arrive à 7q^2=p^2 mais après ?
Puis que x^2 - 7 est irréductible dans Z[X] c'est lié à la question précédente mais je ne m'en sors pas.
Si quelqu'un peut m'aider ?
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$7$ divise $p^2$, non ?
Donc $7$ divise $p$, non ?
Donc $7$ divise $q^2$, non ?
Donc $7$ divise $q$, non ?
Donc contradiction, laquelle ?
Merci
Et X^2 - 7 irréductible ?
Si X^2 - 7 n'est pas irréductible il s'ecrit comme produit de deux poly de degré 1 et on a (X-racine 7)*(X- racine7) or ce ne sont pas des polynômes de Z[X]
Est-ce suffisamment justifié?
Par contre l’argument $(X-a)(X-b)$ où chaque facteur n’est pas irréductible dans $\mathbb Z[X]$ marcherait-il avec $a$ et $b$ rationnels non entiers ? Cela me semble insuffisant mais d’une manière sceptique d’ignorant que je suis.
On peut imaginer une factorisation dans $\Z[X]$ du genre $aP$ avec $a\in\Z$ différent de $\pm1$ et $P$ de degré $2$ à coefficients entiers, ou $PQ$ avec $P$ et $Q$ de degrés $1$ à coefficients entiers. En regardant le coefficient de $X^2$, on se convainc que le premier cas est impossible et que le deuxième a déjà été écarté au paragraphe précédent.
Bonsoir.
Il faut être plus précis sur l'utilisation de la factorisation : Tout calcul avec des entiers est un calcul avec des réels, donc une factorisation de $X^2-7$ dans $\mathbb Z[X]$ est une factorisation de $X^2-7$ dans $\mathbb R[X]$. Or elle est unique (en termes unitaires et à ordre des facteurs près), et on la connaît. Ce n'est pas une factorisation avec des entiers (en fait, on a seulement besoin de $\sqrt 7$ non entier). On a même démontré qu'il n'y a pas de factorisation de $X^2-7$ dans $\mathbb Q[X]$
Cordialement.
Bon courage.
Fr. Ch.