Estimation d'une transformée de Möbius
dans Arithmétique
Bonjour
Soit $\displaystyle g(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{dt}{t(t^2-1) \log t },\ $ et $\mu$ la fonction de Möbius, je cherche à estimer $$
G(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} g(x^{\frac{1}{n}}).
$$ Ma meilleure tentative consiste à écrire $G(x) = \sum_{ r\geq 1} (-1)^r a_r$ où $a_r = \frac{ g(x^{\frac{1}{P(r)}})}{P(r)}$ avec $P(r)$ la $r$-ième primorielle, si on admet que $a_r$ est décroissante en appliquant le critère spécial on trouve $G(x) = O(1/x)$, hélas pour montrer que $a_r$ est décroissante il faut des estimations fines sur $P(r)$ et $g(x)$, et j'ai un peu de mal à m'en sortir.
Connaissez vous des références qui parle de ce genre d'estimation ?
Merci d'avance pour votre aide.
Soit $\displaystyle g(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{dt}{t(t^2-1) \log t },\ $ et $\mu$ la fonction de Möbius, je cherche à estimer $$
G(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} g(x^{\frac{1}{n}}).
$$ Ma meilleure tentative consiste à écrire $G(x) = \sum_{ r\geq 1} (-1)^r a_r$ où $a_r = \frac{ g(x^{\frac{1}{P(r)}})}{P(r)}$ avec $P(r)$ la $r$-ième primorielle, si on admet que $a_r$ est décroissante en appliquant le critère spécial on trouve $G(x) = O(1/x)$, hélas pour montrer que $a_r$ est décroissante il faut des estimations fines sur $P(r)$ et $g(x)$, et j'ai un peu de mal à m'en sortir.
Connaissez vous des références qui parle de ce genre d'estimation ?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
$$R(x) := \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \textrm{li} \left( x^{1/n} \right).$$
Le contexte est-il celui de la formule de Riemann
$$\sum_{n \leqslant \log x} \frac{\pi(x^{1/n})}{n} = \textrm{li}(x) + g(x) - \log 2 - \sum_{\substack{\rho = \beta +i \gamma \\ \zeta(\rho) = 0 \\ \gamma > 0}} \left( \textrm{li} (x^\rho) + \textrm{li} (x^{1-\rho}) \right) \ ?$$
Remarque. Wolframalpha fournit pour $x > 1$
$$g(x) = \frac{1}{x^2} P \left( \frac{1}{\log x} \right) + O \left( \frac{1}{x^4} \right)$$
où $P$ est le polynôme de degré $6$ donné par $P := - \frac{15}{8} X^6 + \frac{3}{4} X^5 - \frac{3}{8} X^4 + \frac{1}{4} X^3 - \frac{1}{4} X^2 + \frac{1}{2} X$.
$\pi(x) = R(x) + \sum_{\rho} R(x^\rho) + G(x)$
dans mon livre (H.M. Edwards Riemann's zeta function) le terme $G(x)$ est simplement étiqueté comme négligeable, et on l'oublie ensuite, j'aimerai avoir un énoncé un peu plus précis que "négligeable".
PS : pour être sûr qu'on est d'accord, chez moi $li(x)$ c'est l'intégrale de $2$ à $x$ de $1/\log$ et non l'inétgrale de $0$ à $x$.
(i) le logarithme intégral "analyste" :
$$\textrm{li}(x) = \textrm{v.p.} \int_0^x \frac{\textrm{d}t}{\log t} \quad \left( x > 1 \right)$$
où l'intégrale est prise en valeurs principales de Cauchy.
(ii) le logarithme intégral "arithméticien" :
$$\textrm{Li}(x) =\int_2^x \frac{\textrm{d}t}{\log t} \quad \left( x \geqslant 2 \right).$$
Si $0 < x < 2$, on pose $\textrm{Li}(x) =0$. Il n'y a pas de différence significative entre les deux.
Note qu'une telle preuve devrait être non triviale, puisque les séries non absolument convergentes impliquées sont problématiques, en particulier celle qui porte sur les zéros non-triviaux de $\zeta$. Elle est néanmoins précise comme le montre l'exemple
$$\pi \left( 10^{20} \right) = 222 \, 081 \, 960 \, 256 \, 091 \, 8840$$
pour lequel on obtient avec l'approximation ci-dessus
$$\pi \left( 10^{20} \right) \approx 222 \, 081 \, 960 \, 259 \, 188 \, 5820.$$
On note aussi que
$$\textrm{li} \left( 10^{20} \right) \approx 222 \, 081 \, 960 \, 278 \, 366 \, 3484.$$
Par ailleurs, le record actuel est me semble-t-il celui-ci :
$$\pi \left( 10^{21} \right) = 211 \, 272 \, 694 \, 860 \, 187 \, 319 \, 28$$
et est dû à X. Gourdon (octobre 2000) http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html