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Diviseur

Envoyé par OShine 
Diviseur
il y a sept semaines
Bonjour,

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $d$ un diviseur de $n$.

On a $2^d-1$ divise $2^n-1$. Je ne comprends pas pourquoi $d=1$ ou $d=n$.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Salut,
C'est un problème de convention. Enregistre ça:
Cas $d=1$: $2^d-1=1$, l'élément neutre de la multiplication divise beaucoup de choses.
Cas $d=n$, à partir du moment où il existe un élément neutre, tous les éléments se divisent eux-même.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
avatar
Il ne demande pourquoi si d=1 ou si d=n, ça marche, il demande pourquoi alors nécessairement d=1 ou d=n.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Diviseur
il y a sept semaines
@nicolaspatrois

C'est exactement ça.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Il demande seulement de justifier une propriété fausse (contre exemple évident n=4 et d=2).
gb
Re: Diviseur
il y a sept semaines
avatar
Citation

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $d$ un diviseur de $n$.
On a $2^d-1$ divise $2^n-1$.

La seconde phrase affirme une conséquence des hypothèses posées par la première phrase.

Par exemple : \(3\) divise \(6\) donc \(7=2^3-1\) divise \(63=2^6-1\) ; mais \(3\) n'est évidemment égal ni à \(1\) ni à \(6\).
Re: Diviseur
il y a sept semaines
C'est faux !Exemple :$2^{10}-1=(2^5-1)(2^5+1)$

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par lale.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Oups... Désolé!

Oshine, connais-tu cette identité remarquable (valable dans tout anneau commutatif et $n$ est un entier naturel, on prend comme convention que la somme est nulle si l'ensemble des termes est vide): $X^n-Y^n=(X-Y)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} X^kY^{n-1-k}$. Ça aide.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Oui mais là j'ai du mal m'exprimer.

L'exercice exact est :
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Montrer que si $2^n-1$ est premier alors $n$ est premier.

Le corrigé donne :
Soit $d$ un diviseur de $n$ alors il existe $p \in \N$ tel que $n=dp$ et $2^{pd}-1=(2^d-1)(1+2^d+\cdots 2^{(p-1)d})$

$2^d-1$ divise $2^n-1$ d'où $d=1$ ou $d=n$.

Je ne comprends pas pourquoi : $d=1$ ou $d=n$.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Tu as oublié l'hypothèse essentielle $2^n-1$ est premier. Et déjà, avant de poser la question, tu as oublié d'utiliser cette hypothèse qui répond immédiatement à ta question si tu utilises ton cerveau.
Re: Diviseur
il y a sept semaines
Merci Gérard mais j'ai perdu toute lucidité j'ai mal à la tête à cause de mon autre sujet je comprends rien avec les congruences :(



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Diviseur
il y a six semaines
Soit $n$ non premier. $n$ peut donc s'écrire $n=pq$ avec $p$ et $q$ supérieurs à 1.
$2^n-1=2^{pq}-1=(2^p)^q-1^q$
Or $a^q-b^q$ peut se factoriser : $a^q-b^q=(a-b)( .... )$
... représentant une somme connue.
Donc, quand $n=pq$, $2^n-1$ est divisible par $(2^p-1)$

Quand $n$ n'est pas premier, $2^n-1$ n'est donc pas premier.
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