Diviseur
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $d$ un diviseur de $n$.
On a $2^d-1$ divise $2^n-1$. Je ne comprends pas pourquoi $d=1$ ou $d=n$.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $d$ un diviseur de $n$.
On a $2^d-1$ divise $2^n-1$. Je ne comprends pas pourquoi $d=1$ ou $d=n$.
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Réponses
C'est un problème de convention. Enregistre ça:
Cas $d=1$: $2^d-1=1$, l'élément neutre de la multiplication divise beaucoup de choses.
Cas $d=n$, à partir du moment où il existe un élément neutre, tous les éléments se divisent eux-même.
-- Schnoebelen, Philippe
C'est exactement ça.
La seconde phrase affirme une conséquence des hypothèses posées par la première phrase.
Par exemple : \(3\) divise \(6\) donc \(7=2^3-1\) divise \(63=2^6-1\) ; mais \(3\) n'est évidemment égal ni à \(1\) ni à \(6\).
Que ça va vite sur ce forum !
Oshine, connais-tu cette identité remarquable (valable dans tout anneau commutatif et $n$ est un entier naturel, on prend comme convention que la somme est nulle si l'ensemble des termes est vide): $X^n-Y^n=(X-Y)\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} X^kY^{n-1-k}$. Ça aide.
L'exercice exact est :
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Montrer que si $2^n-1$ est premier alors $n$ est premier.
Le corrigé donne :
Soit $d$ un diviseur de $n$ alors il existe $p \in \N$ tel que $n=dp$ et $2^{pd}-1=(2^d-1)(1+2^d+\cdots 2^{(p-1)d})$
$2^d-1$ divise $2^n-1$ d'où $d=1$ ou $d=n$.
Je ne comprends pas pourquoi : $d=1$ ou $d=n$.
$2^n-1=2^{pq}-1=(2^p)^q-1^q$
Or $a^q-b^q$ peut se factoriser : $a^q-b^q=(a-b)( .... )$
... représentant une somme connue.
Donc, quand $n=pq$, $2^n-1$ est divisible par $(2^p-1)$
Quand $n$ n'est pas premier, $2^n-1$ n'est donc pas premier.