Infinité de nombres premiers
dans Arithmétique
Bonsoir,
Encore un exercice où je ne vois pas la solution seul. J'aimerais juste une indication pas la solution s'il vous plait pour que je cherche par moi-même.
1/ Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3$.
2/ Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $6k+5$.
Encore un exercice où je ne vois pas la solution seul. J'aimerais juste une indication pas la solution s'il vous plait pour que je cherche par moi-même.
1/ Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4k+3$.
2/ Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $6k+5$.
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Réponses
Si oui, tu peux t'en inspirer je pense que cela aide au moins pour le 1).
les nombres $4k+3$ sont aussi de la forme $4u-1$.
NB: Un entier impair qui est congru à $-1$ modulo $4$ est divisible par un nombre premier congru à $-1$ modulo $4$.
NB2:
Un nombre impair qui n'est pas divisible par $3$ et est congru à $-1$ modulo $6$ est divisible par un nombre premier congru à $-1$ modulo $6$.
La preuve honnêtement elle est super théorique j'avoue ne pas trop voir le rapport avec l'exercice.
Mais je suis d'accord que si $n=4k+3$ alors $n \equiv 3[4] \equiv -1 [4]$
@Noix de Toto
Comment penser à poser un tel $M$ tout seul ?
PS:
C'est une preuve par l'absurde, on suppose qu'il y a $n$ nombres premiers, et on considère leur produit +1.
Comme un nombre premier est congru à $1$ ou $-1$ modulo $4$ on a :
$M \equiv 4^n -1 [4] \equiv -1[4]$ ou $M \equiv 4(-1)^n -1 [4] \equiv -1 [4]$
Dans tous les cas $M \equiv -1[4]$.
Mais je ne vois pas de contradiction.
Oui excusez moi j'ai confondu avec la preuve de l'unicité et l'existence de la décomposition en nombre premiers :-X
Cette preuve tu dois la connaître.
Quand tu l'auras comprise tout deviendra beaucoup plus clair sur l'exercice de ce fil de messages.
PS:
Voir par exemple: https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Euclide_sur_les_nombres_premiers
PS2:
La preuve d'Euclide. On suppose qu'il y a un nombre fini de nombres premiers: $p_1,p_2,...,p_n$.
On considère le nombre $p_1\times p_2\times ...\times p_n+1$.
Question: pourquoi ce nombre n'est pas divisible par les nombres $p_1,p_2,...p_n$?
On sait que tout nombre entier plus grand que 1 est divisible par au moins un nombre premier.
$p_1\times p_2\times ...\times p_n+1$ est donc divisible par un nombre premier mais celui-ci ne peut pas être l'un des $p_i$ donc il existe un nombre premier qui n'est pas dans notre liste ce qui est une contradiction. Donc l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini.
Si $n$ est un entier naturel alors l'entier $N=1+n!$ admet un diviseur premier $p$ (éventuellement lui-même).
Si $p \leq n$ alors $p$ divise $N$ et $n!$ et donc leur différence $1$.
Ce qui est impossible.
Donc $p>n$.
On a montré que pour tout entier $n$ il existe un nombre premier $p$ strictement supérieur à $n$ ce qui prouve que l'ensemble des nombres premiers est majoré donc infini.
Je n’avais pas eu cette idée. Ça te rassurera peut-être.
Penser à ça, je ne l’ai pas fait.
On voit deux méthodes en général :
regarder $1+n!$ ou $1+p_1...p_n$.
La suite du raisonnement est la même.
PS:
Ce qui est important est que les nombres $p_n!+1$ et $p_1....p_n+1$ ne sont pas divisibles par $p_1,p_2,...p_n$
Le reste dans chacune de ces divisions est $1$ !!!!
Ce qui montre bien qu'il existe un diviseur premier qui n'est pas dans la liste $p_1,....p_n$
PS2:
On s'en cogne que le "nouveau" nombre premier soit plus grand que le plus grand nombre premier de la liste finie supposée contenir tous les nombres premiers ce qui compte est qu'il n'est pas dans cette liste pour finir la démonstration et conclure qu'il y a une contradiction.
Bon c’est un point de vue.
C’est peut-être le « plus petit produit » suffisant ?
Si on ne remarque pas cela je crains qu'il soit difficile d'adapter la méthode à l'exercice qui ouvre ce fil.:-D
$p_m$: m-ième nombre premier.
Par exemple, dans la preuve classique d'Euclide, on utilise le polynôme $P = X+1$.
Dans ta question n°1 ci-dessus, on prend $P = X-1$.
Pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod 4$, on prend $P=X^2+1$.
Plus généralement, pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv 1 \pmod q$, où $q > 2$ est premier, on prend le polynôme cyclotomique $\Phi_q = X^{q-1} + X^{q-2} + \dotsb + X + 1$.
La question que l'on peut alors se poser (et que Dirichlet s'est certainement posée) est la suivante : peut-on toujours trouver un polynôme vérifiant les conditions ci-dessus pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv a \pmod q$ avec $a,q$ entiers positifs premiers entre eux ? La réponse à cette question est connue, et elle est surprenante : c'est non !
La condition nécessaire et suffisante pour trouver un tel polynôme (et donc pour utiliser un argument à la Euclide) est que $a^2 \equiv 1 \pmod q$.
Exemple. On peut, à la Euclide, montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv 5 \pmod 6$ (c'est ta seconde question), mais on ne peut pas montrer, à la Euclide, qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $p \equiv 7 \pmod 9$.
Surprenant, non ?
Très intéressant mais je n'ai toujours pas résolu mon modeste exercice :-o
Posons $m=4n-1$ où $n=p_1 p_2 \cdots p_r$
On remarque que $m$ est impair.
Montrons que $m$ est premier avec tous les $p_i$ où $i \in [|1,r|]$.
On a : $p_k (4 \prod_{i \ne k} p_i ) -m=1$
D'après le théorème de Bezout, $p_k \wedge m=1$.
Mais je bloque à ce stade. Je ne vois pas quoi faire de ce résultat.
Plus précisément, à quoi est congru $m$ modulo $4$?
(on cherche une valeur négative par commodité)
Démonstration sans faire appel au théorème fondamental de l'arithmétique:
Soit $n>1$ un entier
On considère l'intersection de l'ensemble des entiers plus grands que $1$ et de l'ensemble des diviseurs de $n$.
Cet ensemble est non vide. Il contient $n$ qui est plus grand que $1$.
Un axiome de l'arithmétique affirme que toute partie non vide de l'ensemble des entiers naturels possède un plus petit élément.
Donc $n$ a un plus petit diviseur $m$ plus grand que $1$.
Si $m$ est premier on a trouvé un nombre premier qui divise $n$.
Sinon, supposons que $m$ n'est pas premier. Par définition, cela veut dire qu'il existe un entier naturel $d$ tel que $1<d<m$ qui divise $m$. En outre, $d$ divise $n$.
Mais, c'est impossible, car $m$ est le plus petit diviseur plus grand que $1$ de $n$. Donc $m$ est un nombre premier et on a donc montré que tout entier plus grand que $1$ est divisible par un nombre premier.
Pour les $4n+1$ je ne connais pas de solution sans utiliser un résultat sur les groupes ! Si tu as quelques notions sur les groupes je peux t'aider.
Pour les $4n-1$ tu supposes que $q$ est le plus grand premier de cette forme.
Suggestion (un peu) détaillée : je te laisse un peu de travail.
Soit $A$ produit des nombres premiers impairs inférieurs à $q$.
Alors $A^2\equiv 1\,\pmod 4$ et $2A^2+1\equiv3\,\pmod 4$. Comme les facteurs premiers de $2A^2+1$ sont tous de la forme $4n+1$ on a encore $2A^2+1\equiv1\,\pmod4$ ce qui est contradictoire.
Si ta démonstration est pour l'ensemble des nombres premiers de la forme $4k-1$ elle est très compliquée selon moi.
Comme le rappelle Noix de totos plus haut, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1939900,1939912#msg-1939912, il suffit de supposer que le nombre de ces nombres premiers est fini et qu'ils sont $p_1,...,p_n$ puis considérer la quantité $4p_1p_2....p_n-1$.
PS:
Le cas des nombres premiers de la forme $4u+1$ est plus compliqué puisqu'on utilise une propriété sur les résidus quadratiques c'est à dire que $-1$ est un résidu quadratique modulo un nombre premier si et seulement si ce nombre premier est de la forme $4u+1$ (si je me souviens bien).
Une preuve en utilisant cette propriété:
On suppose que l'ensemble des nombres premiers de la forme $4u+1$ est fini et qu'il est composé des nombres $p_1,p_2,...p_n$. On considère la quantité $A=4(p_1p_2...p_n)^2+1$.
Cette quantité est impaire, elle n'est divisible par aucun des $p_i$. Tous les diviseurs premiers de $A$ sont de la forme $4u+1$ ou $4u-1$ Il s'agit de voir maintenant que tous les diviseurs premiers de $A$ sont de la forme $4u+1$.
En effet, soit $p$ un diviseur premier de $A$. On a $[2(p_1p_2...p_n)]^2\equiv -1\mod{p}$ ce qui signifie que $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$. Ceci n'est possible que si $p$ est de la forme $4u+1$.
On a trouvé un nombre premier de la forme $4u+1$ qui divise $A$ mais qui n'est pas l'un des $p_i$ on obtient une contradiction. Donc le nombre des nombres premiers de la forme $4u+1$ n'est pas fini.
NB: le $4$ peut être remplacé par n'importe quel carré pair. Ce qui compte est que cela soit un carré et, qu'il soit pair pour que $A$ soit un nombre impair.
Est-il correct de considérer le nombre $$n=4\prod _{p\in P_3}p+3$$
où $P_3=\{4k+3/k\in \mathbb{N}^*\text { et } 4k+3 \text { premier}\}$?
Cordialement.
On a $m \equiv -1 [4]$ où $m= 4 p_1 \cdots p_r1$
Mais je ne vois pas comment utiliser le fait que $ p_k \wedge m =1$
Cela signifie qu'il existe un nombre premier qui divise $m$ qui n'est pas dans la liste des $p_i$.
En fait, tous les nombres premiers qui divisent $m$ ne sont pas dans la liste.
Maintenant il faut montrer qu'il en existe un qui est de la forme $4u-1$.
A quoi est congru un nombre premier impair modulo $4$?
Tu n'analyses pas assez les situations:
1)Tu as montré que ton nombre ne pouvait pas être divisible par un nombre premier de la forme $4k+3$.
2)Peut_il être écrit comme produit de nombres de la forme $4k+1$ (premiers ou pas d'ailleurs)
La réponse est non: Cours---> congruences (modulo 4 ici) et produit
Par commodité, il vaut mieux remplacer le $3$ par $-1$.
Si tu ne connais pas encore la démonstration classique tu verras pourquoi dans quelques temps. B-)-
J'aimerais bien que tu me donnes ton avis sur le nombre proposé après la clarification.
Merci d'avance.
Cordialement
Je voulais juste savoir si l'on pouvait le faire avec cette écriture.
Les progressions arithmétiques:
$4u-1$ et $4u+3$ "capturent" les mêmes nombres entiers.
Mais dans l'exercice qui nous préoccupe il vaut mieux utiliser la forme $4u-1$.
PS:
C'est plus simple à expliquer si on prend la forme $4u-1$ que la forme $4u+3$.
Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué? :-D
Ce n'était pas dans le but de donner une indication.
Puis arrête de me faire des grimaces. (:P)
Si j'analyse mais je ne trouve pas. Hier j'ai du bloqué 30 minutes et je ne comprends pas comment faire malgré vos indications.
Je n'ai pas compris votre remarque. $m$ ne peut pas être divisible par un nombre premier de la forme $4k+3$. Je n'arrive pas à comprendre ça sert à quoi d'avoir montré ça et quel est le lien avec $m \equiv - 1 [4]$
Tout ce qui te reste à démontrer est qu'il existe un nombre premier de la forme $4u-1$ qui divise $4A-1$
$A$ est un entier.
Tu n'as pas répondu à la question cruciale: A quoi un nombre premier impair peut-il être congru modulo $4$?
Les nombres de la forme $4k+3$ sont aussi de la forme $4u-1$.
$4k+3=4k+4-1=4(k+1)-1$ et on prend $u=k+1$
Réciproquement les nombres de la forme $4u-1$ sont aussi de la forme $4k+3$
$4u-1=4u+3-4=4(u-1)+3$ et on prend $k=u-1$.
Le reste je n'arrive toujours pas à comprendre.
A quoi ça sert de montrer que $m=4n-1$ est impair et ne possède aucun facteur premier de la forme $4k+3$ ?
Un entier de la forme $4A-1$ (qui est un nombre impair, il n'a donc aucun diviseur pair) a toujours comme diviseur un nombre premier de la forme $4u-1$.
C'est ce qu'on veut prouver.
Si tu veux comprendre il te faut répondre à:
A quoi un nombre premier impair peut-il être congru modulo 4?
Si $p_j$ divisait $m$, il diviserait $-1$:absurde.
Les nombres premiers divisant m sont donc de la forme $4k+1$.
Les points suivants font-ils partie de ton cours.
1)Décomposition en produit de facteurs premiers:$m=\Pi q_j^{\alpha_j}$.
D'après ce qui précède $q_j$ est de la forme $4k+1$.
2)Congruences: $q_j\equiv 1[4]$: Donc produit et puissances $\Pi q_j^{\alpha_j}\equiv 1[4]$.
D'où $m\equiv -1 [4]$ et $m\equiv [4]$?
Dans mon livre il est écrit :
Le nombre $m=4n-1$ où $n=p_1 \cdots p_r$ et ne possède aucun facteur premier de la forme $4k+3$ car il est premier avec chacun d'entre eux. (jusqu'ici c'est ok)
Donc $m=p_1 \cdots p_r$ où tous les $p_i$ sont congrus à $1$ modulo $4$. (pas compris)
Ainsi $m$ serait congru $1$ modulo $4$ ce qui est impossible.
Quand on multiplie ensemble des nombres qui sont tous congrus à 1 modulo 4 à quoi sera congru le produit modulo $4$?
Si tu as recopié exactement ce que dit le bouquin et si je comprends bien, alors ton bouquin raconte n'importe quoi. :-D
NB:
Le nombre $4A-3$ avec $A$ un entier quelconque est un nombre impair.
Ses diviseurs premiers sont de la forme $4u-1$ ou $4v+1$.
Peuvent-ils tous être de la forme $4u+1$?
Je n'ai pas compris pourquoi si $p_j$ divise $m$ alors il divise $-1$
Je n'ai pas compris pourquoi les $p_i$ sont de la forme $4k+1$
C'est difficile de se faire expliquer par plusieurs personnes qui ne présentent pas les choses identiquement.
C'est l'unique point que je ne comprends pas.
Ce point étant établi ou a la contradiction avec $m \equiv -1 [4]$ et $m \equiv 1^r \equiv 1 [4]$
Si tu réponds à la question:
Quand on multiplie ensemble des nombres qui sont tous congrus à 1 modulo 4 à quoi sera congru le produit modulo 4?
Il y a de fortes chances que tu comprennes.
En fait, nous disons tous la même chose.
Ce que j'essaye de faire comprendre à OShine est que pour bien comprendre une notion, il faut faire d'abord
des exercices d'applications directe de chaque point du cours.
Ici 1) Décomposition
2)congruences: Si $a\equiv b [n]$ alors produit......somme... différence.....
Puissance: $a^q\equiv b^q [n]$....
On ne peut commencer des exercices "difficiles" sans maîtriser les techniques de base.
C'est clair que OShine n'est pas très familier avec les congruences et tu voulais considérer des nombres de la forme $4k+3$? :-D
Ça fait un mois que je suis sur ce chapitre et j'avais une élève de TS l'an dernier spé maths, les congruences j'en ai fait des tonnes.
C'est pas des règles de calcul qui me posent souci mais plutôt la logique du raisonnement.
Vous pensez que je bloque sur les calculs alors que non.
@Fin de partie.
Vous n'avez pas compris ce qui me bloque. Je ne comprends pas la remarque suivante :
Le nombre $m=4n-1$ est impair et ne possède pas aucun facteur premier de la forme $4k+3$ car il est premier avec chacun d'entre eux. (je l'ai démontré hier)
Donc $m=p_1 \cdots p_r$ où tous les $p_i$ sont congrus à $1$ modulo $4$.
Pourquoi les $p_i$ sont forcément congrus à $1$ modulo $4$ ?
Je vais essayer de faire la question 2 tout seul pour voir si j'ai compris.