Infinité de nombres premiers

OShine:

C'EST FAUX qu'un nombre de la forme $4A-1$ ne possède aucun facteur premier de la forme $4u-1$ (c'est la même chose que $4k+3$)

Si c'était vrai on serait très ennuyé pour finir la démonstration.

On reprend.

La démonstration est un raisonnement par l'absurde comme pour la démonstration d'Euclide.

On suppose qu'il y a un nombre fini de nombres premiers de la forme $4u-1$: $p_1,...p_n$.

Et on considère la quantité $A=4p_1\times...\times p_n-1$

Cette quantité est impaire (elle n'a donc aucun diviseur pair) et aucun des $p_i$ ne la divise.

Pour le moment on a calqué exactement sur la démonstration d'Euclide.

Maintenant on sait qu'il existe un nombre premier qui divise $A$ qui n'est pas l'un des $p_i$.
Mais la démonstration ne s'arrête pas là comme pour celle d'Euclide.

On doit s'assurer qu'il existe un nombre premier qui soit de la bonne forme $4u-1$ et qui divise $A$.
Tous les nombres premiers impairs sont de la forme $4u-1$ ou $4v+1$.

Le cas ennuyeux est si tous les nombres premiers qui divisent $A$ sont tous de la forme $4v+1$.
Est-ce que ce cas peut arriver?

NB:
Je pense qu'on est obligé d'utiliser le th. fondamental de l'arithmétique:
un entier plus grand que 1 est égal à un produit de facteurs premiers (avec une certaine unicité).

Aucun livre n'est à l'abri d'une erreur.

Le 1)
S’il ne possède aucun facture congru à -1 [4] (c’est à dire aucun congru à 3 [4]) alors ils sont tous congrus à 1 [4].
En effet, ça ne peut pas être 0 [4], ni 2 [4].

GaBuZoMeu :


J'ai beau relire ce passage il manque quelque chose.
Après relecture l'auteur parle probablement des nombres premiers qui sont dans la liste FINIE qu'on suppose contenir tous les nombres premiers* MAIS ce n'est pas précisé.
Je n'aime pas du tout cette rédaction (vous l'aurez déjà compris).

*: de la forme $4u-1$ (ou $4k+3$ comme aime à le compliquer cet auteur).

OShine:

Comme déjà indiqué, quand on multiplie des nombres qui sont soient égaux à $1$, soient égaux à$-1$, si leur produit est égal à $-1$ dans les nombres qu'on a multipliés il y a nécessairement le nombre $-1$. Autrement leur produit serait $1$.

FdP, tu devrais vraiment réfléchir avant d'écrire des trucs sans queue ni tête.

Je fais mes excuses à GZBM. Je pense que je comprends ce qu'il voulait me dire.

C'est peut-être correct mais cela ne facilite pas la compréhension de présenter ce passage de la sorte à mon humble avis. Je pense que je ne suis pas le seul à ne pas avoir capté immédiatement.

Ce que j'ai compris:

Puisqu'on suppose qu'il y a un nombre fini de nombre premiers de la forme $4k-1$ aucun d'entre eux ne divisent la quantité considérée mais mieux, ce que je n'avais pas capté, aucun nombre premier de la forme $4k-1$ non plus puisque désigner cette liste de nombres en les écrivant les uns derrière les autres ou dire les nombres premiers de la forme $4k-1$ c'est la même chose, on désigne la même chose.

En réfléchissant encore plus on doit pouvoir réduire la taille de cette démonstration de moitié. Le cahier des charges du nombre de pages du bouquin devait être vraiment drastique. B-)

On doit pouvoir gagner encore une centaine de caractère pour réduire cette démonstration. B-)-
On peut supprimer "car il est premier avec chacun d'entre eux'", ce n'est pas démontré de toute façon, et ce n'est pas moins évident que :
"ne possède aucun facteur premier de la forme 4k+3". (une fois qu'on a compris ce que je n'avais pas compris)
J'espère que l'auteur tiendra compte de ma remarque dans la prochaine édition de son bouquin pour rendre encore plus compacte cette démonstration. B-)-

Fin de partie a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1939900,1940106#msg-1940106
Le cas des nombres premiers de la forme $4u+1$ est plus compliqué puisqu'on utilise une propriété sur les résidus quadratiques c'est à dire que $-1$ est un résidu quadratique modulo un nombre premier si et seulement si ce nombre premier est de la forme $4u+1$ (si je me souviens bien).

Merci @Fin de partie !
À mon tour de te dire que tu fais une démonstration plus compliquée que nécessaire.
Si $q$ est le plus grand premier de la forme $4n+1$ on prend $A=(q!)^2+1$.
Tout diviseur premier $p$ de $A$ est impair, strictement supérieur à $q$ et $(q!)^2\equiv-1\pmod p$.
Par conséquent dans le groupe multiplicatif des entiers modulo $p$, $q!$ est d'ordre 4 de sorte que $4$ est diviseur de $p-1$ ce qui contredit la définition de $q$.

En lisant l'article de Wikipedia sur la démonstration d'Euclide sur l'infinité du nombre de nombres premiers j'ai appris que la démonstration d'Euclide ne serait pas une preuve par l'absurde à proprement parler.

Euclide construirait une application $f$ injective entre l'ensemble des entiers naturels vers un sous-ensemble des nombres premiers par: $f(1)=2$, $f(n+1)=\text{plus petit diviseur, plus grand que 1, du nombre:}1+\prod_{j=1}^{n} f(j)$.

(selon l'article, si j'ai bien lu, on ne sait pas si l'image de cette application est l'ensemble des nombres premiers tout entier)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'Euclide_sur_les_nombres_premiers#Démonstration_d'Euclide

PS:
Dans la démonstration d'Euclide on utilise le fait qu'un entier plus grand que 1 est toujours divisible par un nombre premier.
Je n'ai pas lu la partie de l'ouvrage d'Euclide dans laquelle apparait cette propriété(elle existe selon l'article de Wikepedia) mais il y a gros à parier qu'il utilise le fait que le plus petit diviseur plus grand que 1 d'un entier plus grand que 1 est un nombre premier.