Exercices "simples" pour Oshine
dans Arithmétique
Je pose des exos pas trop compliqués qui peuvent t'aider à progresser
Démontrer que $(1+\sqrt{2})^n$ s'écrit sous la forme $a_n + b_n \sqrt{2}$ avec $a_n,b_n$ entiers et montrer que $pgcd(a_n,b_n) = 1$
Indice en blanc : Tu peux essayer par récurrence la 2e partie
Démontrer que $(1+\sqrt{2})^n$ s'écrit sous la forme $a_n + b_n \sqrt{2}$ avec $a_n,b_n$ entiers et montrer que $pgcd(a_n,b_n) = 1$
Indice en blanc : Tu peux essayer par récurrence la 2e partie
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Réponses
Montrer que $n+3$ et $2n+5$ sont premiers entre eux pour tout entier $n$.
Du coup l'exercice niveau capes était trop dur ?
$a_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{E(\frac{n}{2})} \binom{n}{2k} 2^k$
Et $b_n=n+\displaystyle\sum_{k=1}^{E(\frac{n-1}{2})} \binom{n}{2k+1} 2^k$
Une simple (c’est subjectif) récurrence doit fonctionner.
Pour le 2, je comprends la soustraction dans le « donc » mais j’attends un argument qui suit le « de même ».
Il manque une parenthèse également.
Merci pour ces précisions.
Oui la récurrence est plus simple en effet.
L'exercice n'est pas si simple j'ai du réfléchir un peu et tester différentes choses.
Le raisonnement par récurrence est l'un des meilleurs amis du mathématicien.
Cela produit souvent des démonstrations courtes. ;-)
1) On commence par montrer qu'il existe deux suites d'entiers $(a_n),(b_n)$ telles que $u_n=a_n+b_n\sqrt{2}$ pour tout $n$ entier naturel.
2) Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. En déduire que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1912480,1912550#msg-1912550
Une remarque de Christophe à ce sujet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,1912820#msg-1912820
La preuve n'est pas de moi. Je suis un humble vermisseau mathématique. B-)-
Cette preuve je l'ai sans doute extraite d'un numéro de l'AMM.
Ce n'est parce que j'ai oublié un élément de la preuve (ou pas) qu'elle est fausse.
J'ai relu ce que j'ai écrit. Il ne me semble pas y voir d'erreur grossière.
Quand on multiplie un nombre non nul par la puissance d'un nombre non nul, sauf erreur de ma part, on n'obtient pas un nombre qui vaut $0$. B-)-
J'aurais du définir le $\beta_n$ à la ligne qui précède sans doute.
Aucune intention de ma part sauf de documenter.
;-)
J'ai posté ma démonstration par récurrence de la question 2 plus haut.
@Chaurien
Rédige cet exo si tu as quinze minutes à perdre et tu verras par toi-même ou bien, tu attends qu'un deus-ex-machina vienne pointer l'erreur ignominieuse qui fait tout capoter. B-)
1) Soit 0<k<n entiers. Montrer que si $pgcd(k,n) = 1$ alors n divise $\binom{n}{k}$
2) Montrer que $n+1$ divise $\binom{2n}{n}$
Pour la 1, on remarque que $\binom{n}{k}=\dfrac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}$ donc $k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$
Donc $n$ divise $k \binom{n}{k}$ d'après le théorème de Gauss comme $p$ et $k$ sont premiers entre eux alors $p$ divise $\binom{n}{k}$.
J'ai $\binom{2n}{n} = \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$
Après je bloque.
J'ai cité récemment un devoir que j'avais donné en prépa-HEC et qui proposait certaines de ces propriétés, notamment la détermination des nombres qui comme 36 ou 1225 sont à la fois triangulaires et carrés (Euler).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1890426,1890688#msg-1890688
Les $a_n+b_n \sqrt{2}$ sont les unités de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{2}]$, ce qui donne les solutions de l'équation de Fermat-« Pell » $x^2-2y^2= \pm1$.
Les $\frac {a_n}{b_n}$ sont des fractions de meilleures approximation de $\sqrt{2}$ en ce sens que si $p$ et $q$ sont des entiers positifs tels que : $|\frac pq- \sqrt{2}|<|\frac {a_n}{b_n}- \sqrt{2}|$, alors $p>a_n$ et $q>b_n$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Sans utiliser Fermat, démontrer que 13 divise $3^{126} + 5^{126}$
Exercice 4 (facile aussi)
Montrer qu'un nombre palindrome à 2n chiffres est divisible par 11. Nombre palindrome : 505, 20199102, 3883 bref ça se lit dans les 2 sens de la même manière
Votre sujet a l'air très intéressant, dommage que je n'ai pas le temps de le faire
@Noobey
Pour le 3 :
On remarque que $126=2 \times 3 \times 3 \times 7$.
Or, $ 3 \equiv 3 [13] \implies 3^2 \equiv -4 [13] $
Mais $ -4^3 = - 4 \times 4^2 \equiv -4 \times 3 [13] \equiv -12[13] \equiv 1 [13]$
Il s'ensuite par produit de congruences que $\boxed{3^{126} \equiv 1 [13]}$
D'autre part, $ 5 \equiv 5 [13] \implies 5^2 \equiv -1 [13] $
Mais $ (-1)^3 = - 1 \equiv - 1 [13] $
Il s'ensuite par produit de congruences que $\boxed{3^{126} \equiv -1 [13]}$
On a montré $\boxed{3^{126} + 5^{126} \equiv 0[13]}$
Je réfléchis au 4 dès que j'ai du temps.
Donc comme $5^2 \equiv -1 [13]$ alors $5^{126} \equiv (((-1)^3)^3)^7$
Les puissances étant toujours impaires, sans calcul on sait que le résultat va valoir $-1$.
Bref je vois pas pourquoi tu as omis ces calculs dans la démo!
Soit $n$ un nombre palindrome à $2n$ chiffres. On peut l'écrire $n=a_0 \cdots a_{n-1} a_{n-1} \cdots a_0$
En base $10$ son écriture est $n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n}$
Bon j'ai bien mis une demi heure pour avoir cette formule commode pour la suite.
Or $ 10 \equiv -1 [11]$ donc $a_k 10^k \equiv a_k (-1)^k [11]$ et $a_{n-k-1} 10^{k+n} \equiv a_k (-1)^{k+n}[11]$
Donc $a_k 10^k + a_{n-k-1} 10^{k+n} \equiv a_k ( (-1)^k + (-1)^{k+n}) [11]$
Je bloque à ce stade.
Bon sinon il y a une bête faute dans ce que tu écris, $a_{n-k-1}$ n'est pas égal à $a_k$ ! Tu devrais chercher à voir quelles sont les puissances de $10$ devant les deux occurrences d'un même $a_k$.
Ce qui donne $n= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k 10^k+ \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} a_{2n-k} 10^k$
C'est mieux ainsi ?
Après changement d'indice en utilisant ma première somme correcte je trouve :
$x= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{j=n}^{2n-1} a_{2n-j-1} 10^j$
Soit : $\boxed{x= \displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1} (a_k+a_{2n-k-1}) 10^k}$
On remarque que $\forall k \in [|0,2n-1|] \ a_k=a_{2n-k-1}$ ce qui donne :
$x=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1} 2 a_k 10^k = 2 \displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1} a_k10^k$
Mais $10^0=1 \equiv 1 [11]$
Et $\forall k \geq 1 \ 10^k \equiv (-1)^k [11]$
Je bloque à ce stade.
Réécris $$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \text{???}.$$
Je ne m'en sors pas.
Si on fixe $j$ entre $0$ et $n-1$, à droite le il y aura du $a_{n-j-1}$ pas du $a_j$ :-S
Sinon $x=a_1 + a_2 10 + \cdots a_n 10^n + a_{n} 10^{n+1} + \cdots a_1 10^{2n-1}$
Je dirais $k=n-j-1$ mais sans comprendre.
Je n'arrive pas à trouver le $$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \text{???}.$$
$a_n 10^n +a_n 10^{n+1} \equiv a_n (-1)^n + a_n (-1)^{n+1} [11] \equiv 0 [11]$
Mais j'aurais préféré le réussir avec la somme générale ça m'énerve pourtant je maîtrise les changements d'indices et les sommes normalement.
Convainc-toi que ceci est vrai et adapte ça dans ton cas.
$$x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n} = $$ ?