Exercices "simples" pour Oshine

Merci Noobey.

Du coup l'exercice niveau capes était trop dur ?

J'aime bien cet exercice. Au moins je peux chercher des choses. J'ai avancé un peu j'ai bientôt terminé la récurrence je pense avoir trouvé l'idée.

Ok merci je vais chercher, par contre je pense avoir réussi la question 2 indépendamment de la une.

Pour le 1, c’est bien compliqué je trouve.
Une simple (c’est subjectif) récurrence doit fonctionner.

Pour le 2, je comprends la soustraction dans le « donc » mais j’attends un argument qui suit le « de même ».
Il manque une parenthèse également.

Je pense que cela ne va pas être facile avec les formules obtenues par OShine de montrer que le pgcd de $a_n$ et $b_n$ est $1$.

Le raisonnement par récurrence est l'un des meilleurs amis du mathématicien.
Cela produit souvent des démonstrations courtes. ;-)

En considérant la suite $u_n=(\sqrt{2}-1)^n$ on peut obtenir une démonstration que $\sqrt{2}$ est irrationnel si je me souviens bien.

1) On commence par montrer qu'il existe deux suites d'entiers $(a_n),(b_n)$ telles que $u_n=a_n+b_n\sqrt{2}$ pour tout $n$ entier naturel.
2) Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. En déduire que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Dom:
La preuve n'est pas de moi. Je suis un humble vermisseau mathématique. B-)-
Cette preuve je l'ai sans doute extraite d'un numéro de l'AMM.
Ce n'est parce que j'ai oublié un élément de la preuve (ou pas) qu'elle est fausse.

J'ai relu ce que j'ai écrit. Il ne me semble pas y voir d'erreur grossière.
Quand on multiplie un nombre non nul par la puissance d'un nombre non nul, sauf erreur de ma part, on n'obtient pas un nombre qui vaut $0$. B-)-
J'aurais du définir le $\beta_n$ à la ligne qui précède sans doute.

@Fin de partie

J'ai posté ma démonstration par récurrence de la question 2 plus haut.

@Chaurien

La question 2 me pose des soucis...

J'ai $\binom{2n}{n} = \dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$

Après je bloque.

Les suites d'entiers $a_n$ et $b_n$ telles que $(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$, sont régies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, et elles ont de nombreuses propriétés, similaires à celles de la suite de Fibonacci, définie par une relation de même type.
J'ai cité récemment un devoir que j'avais donné en prépa-HEC et qui proposait certaines de ces propriétés, notamment la détermination des nombres qui comme 36 ou 1225 sont à la fois triangulaires et carrés (Euler).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1890426,1890688#msg-1890688
Les $a_n+b_n \sqrt{2}$ sont les unités de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt{2}]$, ce qui donne les solutions de l'équation de Fermat-« Pell » $x^2-2y^2= \pm1$.
Les $\frac {a_n}{b_n}$ sont des fractions de meilleures approximation de $\sqrt{2}$ en ce sens que si $p$ et $q$ sont des entiers positifs tels que : $|\frac pq- \sqrt{2}|<|\frac {a_n}{b_n}- \sqrt{2}|$, alors $p>a_n$ et $q>b_n$.
Bonne journée.
Fr. Ch.

@Chaurien
Votre sujet a l'air très intéressant, dommage que je n'ai pas le temps de le faire

@Noobey
Pour le 3 :
On remarque que $126=2 \times 3 \times 3 \times 7$.

Or, $ 3 \equiv 3 [13] \implies 3^2 \equiv -4 [13] $
Mais $ -4^3 = - 4 \times 4^2 \equiv -4 \times 3 [13] \equiv -12[13] \equiv 1 [13]$
Il s'ensuite par produit de congruences que $\boxed{3^{126} \equiv 1 [13]}$

D'autre part, $ 5 \equiv 5 [13] \implies 5^2 \equiv -1 [13] $
Mais $ (-1)^3 = - 1 \equiv - 1 [13] $
Il s'ensuite par produit de congruences que $\boxed{3^{126} \equiv -1 [13]}$

On a montré $\boxed{3^{126} + 5^{126} \equiv 0[13]}$

Je réfléchis au 4 dès que j'ai du temps.

$5^{126}=(((5^2)^3)^3)^7$

Donc comme $5^2 \equiv -1 [13]$ alors $5^{126} \equiv (((-1)^3)^3)^7$

Les puissances étant toujours impaires, sans calcul on sait que le résultat va valoir $-1$.

Ok ça marche.

Soit $n$ un nombre palindrome à $2n$ chiffres. On peut l'écrire $n=a_0 \cdots a_{n-1} a_{n-1} \cdots a_0$

En base $10$ son écriture est $n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n}$
Bon j'ai bien mis une demi heure pour avoir cette formule commode pour la suite.

Or $ 10 \equiv -1 [11]$ donc $a_k 10^k \equiv a_k (-1)^k [11]$ et $a_{n-k-1} 10^{k+n} \equiv a_k (-1)^{k+n}[11]$

Donc $a_k 10^k + a_{n-k-1} 10^{k+n} \equiv a_k ( (-1)^k + (-1)^{k+n}) [11]$

Je bloque à ce stade.

Oui j'ai fait des erreurs $a_n=a_{2n-k}$ je crois.

Ce qui donne $n= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k 10^k+ \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} a_{2n-k} 10^k$

C'est mieux ainsi ?

Non !!! Pourquoi modifier ta formule de départ ? Je répète : utilise $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n}$, n'introduis pas de $a_j$ avec $j \geq n$, ça ne sert qu'à t'embrouiller.

Réécris $$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \text{???}.$$

Mais enfin, si tu fixes $j$ entre $0$ et $n-1$, la somme de gauche te donne un $a_j10^j$, et la somme de droite te donne un $a_j 10^{\text{???}}$.

J'ai testé sur des exemples $x=2002$ ça marche très bien. Le cas général me pose problème.

Sinon $x=a_1 + a_2 10 + \cdots a_n 10^n + a_{n} 10^{n+1} + \cdots a_1 10^{2n-1}$

Dernière tentative de ma part. Je fixe $j$ entre $0$ et $n-1$. Dans la somme de droite, j'ai les $a_{n-k-1}$ avec $k$ entre $0$ et $n-1$. Pour quelles valeur de $k$ on a $a_{n-k-1}=a_j$ ? Ça te donnera la puissance de $10$ devant le $a_j$ qui se trouve dans la somme de droite.

@chat-mat

$a_n 10^n +a_n 10^{n+1} \equiv a_n (-1)^n + a_n (-1)^{n+1} [11] \equiv 0 [11]$

Mais j'aurais préféré le réussir avec la somme générale ça m'énerve pourtant je maîtrise les changements d'indices et les sommes normalement.

Non, d'ailleurs je n'ai pas réussi à comprendre les remarques de Poirot.

Oui ça parait logique mais comment l'appliquer à :

$$x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k 10^k + \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} 10^{k+n} = $$ ?

Le $x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_{k-(n-1)}$ me fait des expressions compliquées et ultra bizarres.