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Existence et unicité d'une application

Envoyé par OShine 
Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Bonsoir,

Montrer qu'il existe une application $d$ de $\N^{*}$ dans $\Z$, et une seule, telle que, pour tout nombre premier $p$ on ait $d(p)=1$ et $\forall (u,v) \in (\N^{*})^2 \ d(uv)=ud(v)+vd(u)$.

Résoudre l'équation $d(n)=n$.


Pour l'unicité j'ai fait :
Supposons qu'une telle application existe. Alors on a pour tout nombre premier $p$ j'ai conjecturé : $d(p^n)=n p^{n-1}$

Au rang $n=1$ on a $d(p^1)=d(p)= 1 =p^0 $

Hérédité :
Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$.
$d(p^{n+1})=d(p p^n)=p d(p^n)+p^n d(p)= np^n + p^n =(n+1)p^n$.

La propriété est démontrée par récurrence.

Comment savoir si j'ai terminé la démonstration de l'unicité ?
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Si tu rédiges avec cette preuve par récurrence ce que tu as démontré, alors tu vas savoir si tu as fini pour l’unicité.
En gros : qu’as-tu démontré ?
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
J'ai trouvé l'expression de $d(p)$ en fonction de $p$ pour $p$ premier.

Ah je viens d'avoir une idée, il faut aussi trouver une expression de $d(u)$ pour $u$ pas forcément premier.

Si on pose $n= \prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ je me perds dans des calculs interminables et je n'arrive pas à trouver l'expression de $d(n)$
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Ok. C’est ça.
Cherche un peu. Attaque doucement au lieu de te perdre.
Soir $n$ un entier tel que la décomposition soit $n=p_1p_2p_3$.
J’ai noté $p_i$ des nombres premiers et éventuellement égaux, on s’en fiche, disons qu’il est peut-être pertinent de les considérer distincts dans un premier temps.

Remarque : n’oublions pas $d(1)$.

Édit : dans ce que tu proposes, on peut oublier les $\alpha_i$ en considérant les $p_i$ éventuellement égaux.
Mais ce n’était pas une mauvaise idée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
@Dom

J'avance doucement mais sûrement.

J'ai conjecturé en gardant les puissances $\alpha_i$ pour la cas $r=3$ , on a $n=p_1 ^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} p_3 ^{\alpha_3}$

Je trouve après calculs : $d(n) = \alpha_3 \dfrac{n}{p_3}+\alpha_2 \dfrac{n}{p_2}+\alpha_1 \dfrac{n}{p_1}$

Ainsi je conjecture $\boxed{d(n)= n \displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i}} $

Au rang $r=1$ on a : $d(p_1 ^{\alpha_1})= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
Et $n \displaystyle\sum_{i=1}^1 \dfrac{\alpha_i}{p_i} = n \dfrac{\alpha_1}{p_1}= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
La propriété est vraie pour $r=1$

J'essaie de terminer la récurrence.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par OShine.
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Ça me semble correct.
Je n’ai pas pensé tout de suite à écrire cette somme avec des quotients (les $1/p_i$) alors que c’est très pratique.
De mémoire c’est classique (après coup winking smiley).

Ça aide à résoudre l’équation.

Remarque : je pense qu’on peut de nouveau se passer des $\alpha_i$ en s’autorisant des $p_i$ égaux.
Dans cet exercice en tout cas. A moins que pour l’équation, cela apporte un intérêt.

Édit : quand tu auras terminé, on aura des digressions sur cette fonction.
Enfin, pas moi, mais tu auras remarque une formule ressemblant à la dérivation d’un produit.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Je bloque sur la récurrence, je ne comprends pas mon erreur confused smiley
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Document 27.pdf (288.3 KB)
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Méfie-toi de ton $n$, je sens que c’est le même au tout début et le même à la fin...(edit : enfin, oui c’est le même mais tu sembles en espérer un autre).
En fait il n’y a rien de choquant à la dernière ligne !

Il y a une ligne bizarre avec un $p$ sans indice.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Ok merci je viens de de comprendre. La notation $n$ est trompeur en effet, la récurrence dépend de $r$.

Je vais essayer de résoudre l'équation.
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Je crois que c’est encore une etourderie (il n’y a pas d’erreur je pense) qui ne serait pas arrivée si tu avais pris la peine de rédiger proprement avec des quantificateurs.
Je sais que c’est pénible parfois et qu’on a peur de perdre du temps.
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Pour l'existence...

Je pose $u=\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ et $v=\displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i}$

$d(\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i} \times \displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i} + \displaystyle\sum_{i=r+1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}$

Et j'aboutis au résultat voulu.

$d(n)=n$ qui est équivalent à $\displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i} =1$

Finalement j'ai réussi à résoudre l'équation les solutions sont les nombres de la forme $n= p_1 ^{p_1}$ avec $p_1$ premier.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par OShine.
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Pour l’existence :
Bizarre. Enfin, je ne sais pas ce que tu fais. Rédaction...?

Pour l’équation : j’ai aussi trouvé ces solutions là.
Sais-tu démontrer que ce sont les seules ?
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Dom pour l'existence, je vérifie que la solution obtenue lors de la preuve de l'unicité vérifie bien les hypothèses c'est-à-dire qu'elle vérifie bien $d(p)=1$ pour $p$ premier et $\forall (u,v) \in \N^* \times \N^* \ d(uv)=u d(v) + v d(u)$

Oui je n'ai pas trop rédigé car les notations sont lourdes sur Latex.

Ce sont les seules car on a montré $\forall n \in \N^* \ d(n)=n \implies ( n=p^p , p \ \text{premier} )$

Si $n= p ^{p}$ alors $d(n)=d(p^p) = p p^{p-1} = p$

Ainsi l'implication de départ devient une équivalence et on a montré :

$\forall n \in \N^* \ d(n)=n \Longleftrightarrow ( n=p^p , p \ \text{premier} )$
Dom
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Ha justement c’est la première implication qui, de mon point de vue, n’est pas si évidente.
Re: Existence et unicité d'une application
il y a six semaines
Oui la première implication est assez difficile.

Il faut penser à multiplier par $p_1 \cdots p_n$ dans l'égalité avec la somme qui vaut 1. Puis utiliser le théorème de Gauss et utiliser le fait que $p_1$ est premier pour conclure que $p_1=\alpha_1$.
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