Existence et unicité d'une application

J'ai trouvé l'expression de $d(p)$ en fonction de $p$ pour $p$ premier.

Ah je viens d'avoir une idée, il faut aussi trouver une expression de $d(u)$ pour $u$ pas forcément premier.

Si on pose $n= \prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ je me perds dans des calculs interminables et je n'arrive pas à trouver l'expression de $d(n)$

@Dom

J'avance doucement mais sûrement.

J'ai conjecturé en gardant les puissances $\alpha_i$ pour la cas $r=3$ , on a $n=p_1 ^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} p_3 ^{\alpha_3}$

Je trouve après calculs : $d(n) = \alpha_3 \dfrac{n}{p_3}+\alpha_2 \dfrac{n}{p_2}+\alpha_1 \dfrac{n}{p_1}$

Ainsi je conjecture $\boxed{d(n)= n \displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i}} $

Au rang $r=1$ on a : $d(p_1 ^{\alpha_1})= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
Et $n \displaystyle\sum_{i=1}^1 \dfrac{\alpha_i}{p_i} = n \dfrac{\alpha_1}{p_1}= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
La propriété est vraie pour $r=1$

J'essaie de terminer la récurrence.

Je bloque sur la récurrence, je ne comprends pas mon erreur :-S

Ok merci je viens de de comprendre. La notation $n$ est trompeur en effet, la récurrence dépend de $r$.

Je vais essayer de résoudre l'équation.

Pour l'existence...

Je pose $u=\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ et $v=\displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i}$

$d(\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i} \times \displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i} + \displaystyle\sum_{i=r+1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}$

Et j'aboutis au résultat voulu.

$d(n)=n$ qui est équivalent à $\displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i} =1$

Finalement j'ai réussi à résoudre l'équation les solutions sont les nombres de la forme $n= p_1 ^{p_1}$ avec $p_1$ premier.

Dom pour l'existence, je vérifie que la solution obtenue lors de la preuve de l'unicité vérifie bien les hypothèses c'est-à-dire qu'elle vérifie bien $d(p)=1$ pour $p$ premier et $\forall (u,v) \in \N^* \times \N^* \ d(uv)=u d(v) + v d(u)$

Oui je n'ai pas trop rédigé car les notations sont lourdes sur Latex.

Ce sont les seules car on a montré $\forall n \in \N^* \ d(n)=n \implies ( n=p^p , p \ \text{premier} )$

Si $n= p ^{p}$ alors $d(n)=d(p^p) = p p^{p-1} = p$

Ainsi l'implication de départ devient une équivalence et on a montré :

$\forall n \in \N^* \ d(n)=n \Longleftrightarrow ( n=p^p , p \ \text{premier} )$

Oui la première implication est assez difficile.

Il faut penser à multiplier par $p_1 \cdots p_n$ dans l'égalité avec la somme qui vaut 1. Puis utiliser le théorème de Gauss et utiliser le fait que $p_1$ est premier pour conclure que $p_1=\alpha_1$.