Existence et unicité d'une application
dans Arithmétique
Bonsoir,
Montrer qu'il existe une application $d$ de $\N^{*}$ dans $\Z$, et une seule, telle que, pour tout nombre premier $p$ on ait $d(p)=1$ et $\forall (u,v) \in (\N^{*})^2 \ d(uv)=ud(v)+vd(u)$.
Résoudre l'équation $d(n)=n$.
Pour l'unicité j'ai fait :
Supposons qu'une telle application existe. Alors on a pour tout nombre premier $p$ j'ai conjecturé : $d(p^n)=n p^{n-1}$
Au rang $n=1$ on a $d(p^1)=d(p)= 1 =p^0 $
Hérédité :
Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$.
$d(p^{n+1})=d(p p^n)=p d(p^n)+p^n d(p)= np^n + p^n =(n+1)p^n$.
La propriété est démontrée par récurrence.
Comment savoir si j'ai terminé la démonstration de l'unicité ?
Montrer qu'il existe une application $d$ de $\N^{*}$ dans $\Z$, et une seule, telle que, pour tout nombre premier $p$ on ait $d(p)=1$ et $\forall (u,v) \in (\N^{*})^2 \ d(uv)=ud(v)+vd(u)$.
Résoudre l'équation $d(n)=n$.
Pour l'unicité j'ai fait :
Supposons qu'une telle application existe. Alors on a pour tout nombre premier $p$ j'ai conjecturé : $d(p^n)=n p^{n-1}$
Au rang $n=1$ on a $d(p^1)=d(p)= 1 =p^0 $
Hérédité :
Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$.
$d(p^{n+1})=d(p p^n)=p d(p^n)+p^n d(p)= np^n + p^n =(n+1)p^n$.
La propriété est démontrée par récurrence.
Comment savoir si j'ai terminé la démonstration de l'unicité ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En gros : qu’as-tu démontré ?
Ah je viens d'avoir une idée, il faut aussi trouver une expression de $d(u)$ pour $u$ pas forcément premier.
Si on pose $n= \prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ je me perds dans des calculs interminables et je n'arrive pas à trouver l'expression de $d(n)$
Cherche un peu. Attaque doucement au lieu de te perdre.
Soir $n$ un entier tel que la décomposition soit $n=p_1p_2p_3$.
J’ai noté $p_i$ des nombres premiers et éventuellement égaux, on s’en fiche, disons qu’il est peut-être pertinent de les considérer distincts dans un premier temps.
Remarque : n’oublions pas $d(1)$.
Édit : dans ce que tu proposes, on peut oublier les $\alpha_i$ en considérant les $p_i$ éventuellement égaux.
Mais ce n’était pas une mauvaise idée.
J'avance doucement mais sûrement.
J'ai conjecturé en gardant les puissances $\alpha_i$ pour la cas $r=3$ , on a $n=p_1 ^{\alpha_1} p_2 ^{\alpha_2} p_3 ^{\alpha_3}$
Je trouve après calculs : $d(n) = \alpha_3 \dfrac{n}{p_3}+\alpha_2 \dfrac{n}{p_2}+\alpha_1 \dfrac{n}{p_1}$
Ainsi je conjecture $\boxed{d(n)= n \displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i}} $
Au rang $r=1$ on a : $d(p_1 ^{\alpha_1})= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
Et $n \displaystyle\sum_{i=1}^1 \dfrac{\alpha_i}{p_i} = n \dfrac{\alpha_1}{p_1}= \alpha_1 p_1 ^{\alpha_1 -1}$
La propriété est vraie pour $r=1$
J'essaie de terminer la récurrence.
Je n’ai pas pensé tout de suite à écrire cette somme avec des quotients (les $1/p_i$) alors que c’est très pratique.
De mémoire c’est classique (après coup ;-)).
Ça aide à résoudre l’équation.
Remarque : je pense qu’on peut de nouveau se passer des $\alpha_i$ en s’autorisant des $p_i$ égaux.
Dans cet exercice en tout cas. A moins que pour l’équation, cela apporte un intérêt.
Édit : quand tu auras terminé, on aura des digressions sur cette fonction.
Enfin, pas moi, mais tu auras remarque une formule ressemblant à la dérivation d’un produit.
En fait il n’y a rien de choquant à la dernière ligne !
Il y a une ligne bizarre avec un $p$ sans indice.
Je vais essayer de résoudre l'équation.
Je sais que c’est pénible parfois et qu’on a peur de perdre du temps.
Je pose $u=\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i}$ et $v=\displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i}$
$d(\displaystyle\prod_{i=1}^r p_i ^{\alpha_i} \times \displaystyle\prod_{i=r+1}^r' p_i ^{\alpha_i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}= \displaystyle\sum_{i=1}^{r} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i} + \displaystyle\sum_{i=r+1}^{r'} \dfrac{\alpha_i}{p_i} \displaystyle\prod_{i=1}^{r'} p_i ^{\alpha_i}$
Et j'aboutis au résultat voulu.
$d(n)=n$ qui est équivalent à $\displaystyle\sum_{i=1}^r \dfrac{\alpha_i}{p_i} =1$
Finalement j'ai réussi à résoudre l'équation les solutions sont les nombres de la forme $n= p_1 ^{p_1}$ avec $p_1$ premier.
Bizarre. Enfin, je ne sais pas ce que tu fais. Rédaction...?
Pour l’équation : j’ai aussi trouvé ces solutions là.
Sais-tu démontrer que ce sont les seules ?
Oui je n'ai pas trop rédigé car les notations sont lourdes sur Latex.
Ce sont les seules car on a montré $\forall n \in \N^* \ d(n)=n \implies ( n=p^p , p \ \text{premier} )$
Si $n= p ^{p}$ alors $d(n)=d(p^p) = p p^{p-1} = p$
Ainsi l'implication de départ devient une équivalence et on a montré :
$\forall n \in \N^* \ d(n)=n \Longleftrightarrow ( n=p^p , p \ \text{premier} )$
Il faut penser à multiplier par $p_1 \cdots p_n$ dans l'égalité avec la somme qui vaut 1. Puis utiliser le théorème de Gauss et utiliser le fait que $p_1$ est premier pour conclure que $p_1=\alpha_1$.