Équation liant pgcd et ppcm
dans Arithmétique
Bonjour
1/ Soit $a$ et $b$ 2 entiers naturels non nuls. Montrer que $PGCD(a+b,PPCM(a,b))=PGCD(a,b)$
2/ Trouver tous les couples $(a,b) \in \N^* \times \N^* $ tels que $a+b=144$ et $PPCM(a,b)=420$.
Je ne comprends pas plusieurs étapes du corrigé ; les passages en rouge.
Notons $D=PGCD(a,b)$ et $M=PPCM(a,b)$.
On a $a=Da'$ et $b=Db'$ (avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux) d'où : $a+b=D(a'+b')$.
De plus $DM=ab$ d'où $M=Da'b'$
Pour montrer que $D=PGCD(a+b,M)$ il suffit de montrer que $a' b'$ et $a'+b'$ sont premiers entre eux.
1/ Soit $a$ et $b$ 2 entiers naturels non nuls. Montrer que $PGCD(a+b,PPCM(a,b))=PGCD(a,b)$
2/ Trouver tous les couples $(a,b) \in \N^* \times \N^* $ tels que $a+b=144$ et $PPCM(a,b)=420$.
Je ne comprends pas plusieurs étapes du corrigé ; les passages en rouge.
Notons $D=PGCD(a,b)$ et $M=PPCM(a,b)$.
On a $a=Da'$ et $b=Db'$ (avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux) d'où : $a+b=D(a'+b')$.
De plus $DM=ab$ d'où $M=Da'b'$
Pour montrer que $D=PGCD(a+b,M)$ il suffit de montrer que $a' b'$ et $a'+b'$ sont premiers entre eux.
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Réponses
donc M = Da'b'. car D est différent de zéro.
ensuite, PGCD(a+b,M) = PGCD(Da'+Db',Da'b') =D PGCD(a'+b',a'b')
donc PGCD(a+b,M) = D équivaut à PGCD(a'+b',A'b') = 1.
Pour la question 1, il s'agit donc effectivement de prouver que si $a' \wedge b'=1$ alors $ (a'+b')\wedge (a'b')=1$.
On en a déjà parlé sur ce forum, et ce n'est pas très difficile.
Pour la question 2, on a : $D(a'+b')=144$, $Da'b'=420$, et $D=...$, etc.
Bon courage.
Fr. Ch.