Les classes d'équivalence en application
Bonjour,
j'étudie les classes d'équivalence. Voici les notations introduite dans mon cours.
1. $(G,.)$ un groupe noté multiplicativement
2. $H$ un sous-groupe de $G$.
3. $g R h \Leftrightarrow g^{-1}h\in H$ est une relation d'équivalence
4. $\bar{g}=\{h\in H\mid gRh\}=g.H$ est la classe d'équivalence à gauche modulo $H$
5. $G/H=\{\bar{g}\mid g\in G\}$ est le quotient du groupe $G$ par $H$
6. $G=\bigcup_{i\in I}\bar{g_i}=\bigcup_{g\in G}gH$ est la partition obtenue par les classes d'équivalence.
Je souhaite écrire ce que l'on obtient avec :
1. $(\mathbb{Z},+)$ noté additivement
2. $H=n\mathbb{Z}$ par théorème, les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont de cette forme
3. $a R b \Leftrightarrow a-b\in n\mathbb{Z}$ est une relation d'équivalence
4. $\bar{a}=\{b\in n\mathbb{Z}\mid aRb\}=a+n\mathbb{Z}$ est la classe d'équivalence de a modulo n.
5. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}$ est le quotient du groupe $\mathbb{Z}$ par $H=n\mathbb{Z}$
6. Je ne vois pas trop quoi écrire.
J'ai un doute sur le point 4.
Et pour le point 5, j'aimerais retrouver le fait que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\cdots\overline{n-1}\}$. Dans cet objectif, je ne vois pas comment obtenir l'égalité suivante :
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{a+n\mathbb{Z}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{\overline{0},\ldots,\overline{n-1}\}$.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
j'étudie les classes d'équivalence. Voici les notations introduite dans mon cours.
1. $(G,.)$ un groupe noté multiplicativement
2. $H$ un sous-groupe de $G$.
3. $g R h \Leftrightarrow g^{-1}h\in H$ est une relation d'équivalence
4. $\bar{g}=\{h\in H\mid gRh\}=g.H$ est la classe d'équivalence à gauche modulo $H$
5. $G/H=\{\bar{g}\mid g\in G\}$ est le quotient du groupe $G$ par $H$
6. $G=\bigcup_{i\in I}\bar{g_i}=\bigcup_{g\in G}gH$ est la partition obtenue par les classes d'équivalence.
Je souhaite écrire ce que l'on obtient avec :
1. $(\mathbb{Z},+)$ noté additivement
2. $H=n\mathbb{Z}$ par théorème, les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont de cette forme
3. $a R b \Leftrightarrow a-b\in n\mathbb{Z}$ est une relation d'équivalence
4. $\bar{a}=\{b\in n\mathbb{Z}\mid aRb\}=a+n\mathbb{Z}$ est la classe d'équivalence de a modulo n.
5. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}$ est le quotient du groupe $\mathbb{Z}$ par $H=n\mathbb{Z}$
6. Je ne vois pas trop quoi écrire.
J'ai un doute sur le point 4.
Et pour le point 5, j'aimerais retrouver le fait que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\cdots\overline{n-1}\}$. Dans cet objectif, je ne vois pas comment obtenir l'égalité suivante :
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{a+n\mathbb{Z}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{\overline{0},\ldots,\overline{n-1}\}$.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.
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Réponses
Pour 6 tu as déjà tout fait : $\mathbb Z = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left(k + n \mathbb Z\right).$
merci de la réponse.
Dois-je utiliser la division euclidienne ?
On fait la division euclidienne de $a$ par $n$, ce qui donne :
Donc $a-r=nq$ et donc $\bar{a}=\bar{r}$.
D'où $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{\bar{r},\ 0\le r\le n-1\}=\{\overline{0},\ldots,\overline{n-1}\}$.
N'ai-je pas oublié une inclusion réciproque ?
D'où $u\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in\mathbb{Z}\}$.
Est-ce bien cela ?
En fait je viens de réaliser que l'on retombe sur des choses simples avec ce type de partition dans ce cas là. Par exemple, si $n=3$ :
$i R j \Leftrightarrow \exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j$.
Est-ce que je le fais en suivant dans ce fil de discussion, ou est-ce que j'en ouvre un autre ?
$a\mathcal{R}_G b$ et G est un groupe.
$i\mathcal{R}_E j$ et E est un ensemble, sans être forcément un groupe.
Est-ce que cela change autre chose ?
Je passe directement au 3. Il s'agit de prouver la symétrie, la réflexivité et la transitivité.
- $i\mathcal{R}_E i$ avec $\sigma=Id_E$.
- Si $i\mathcal{R}_E j$ alors $\exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j \Rightarrow i=\sigma^{-p}(j)$ (en effet, $\sigma$ étant bijective d'inverse $\sigma^{-1}$ alors $\sigma^p$ l'est aussi d'inverse $\sigma^{-p}$.
Ce qui prouve que $j\mathcal{R}_E i$
- Si $i\mathcal{R}_E j$ alors $\exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j $
Si $j\mathcal{R}_E k$ alors $\exists q\in\mathbb{Z},\ \sigma^q(j)=k$
D'où $\sigma^q(j)=\sigma^q(\sigma^p(i))=\sigma^{p+q}(i)=k$ et donc $i\mathcal{R}_E k$.
C'est donc bien une relation d'équivalence.
Qu'en pensez-vous ?
$i\mathcal{R}_Ei$ puisqu'il existe $p=0$ de sorte que $\sigma^p(i)=i$.
$\bar{i}=\{j\in E|i\mathcal{R}_Ej\}=\{j\in E\,|\,\exists p\in\mathbb{Z}\,|\,\sigma^p(i)=j\}$
Puis-je aller plus avant dans le description de la classe $\bar{i}$ ?
Pour le point 5, l'écriture G/H n'as pas non plus lieu d'être.
Par contre, je peux toujours "quotienter" l'ensemble E par la relation d'équivalence $\mathcal{R}_E$, mais comment le noter ?
Alors le point 5 s'écrit dans le cas présent :
$E/\mathcal{R}_E=\{\bar{i}\,,i\in E\}$
Si $E$ est infini, alors je ne pense pas pouvoir simplifier cette écriture.
Si $E=\{1\,,\cdots\,,n\}$ alors je peux écrire $E/\mathcal{R}_E=\{\bar{1}\,,\bar{2}\,,\cdots\,,\bar{n}\}$.
Ce qui ressemble fortement à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{0}\,,\bar{1}\,,\cdots\,,\overline{n-1}\}$.
Est-ce qu'il existe un lien entre les deux ?
Peut-on, là aussi, simplifier l'écriture de cet ensemble ?
Je connaissais ce théorème.
Mais il me semble que pour le démontrer, on utilise justement une partition de l'ensemble E par les classes d'équivalence, non ?
Avec les notations classiques, je veux montrer le théorème de Lagrange, à savoir que :
Pour cela, j'ai besoin d'écrire que $\large G=\cup_{\bar{g}\in G/H}\bar{g}$. (réunion disjointe)
Puisque la classe d'équivalence $\bar{g}$ est égal à l'ensemble $g.H$ et que ce dernier a la même nombre d'éléments que $H$, je trouve ainsi que :
card(G)&=\sum_{\bar{g}\in G/H}card(\bar{g})\\
&=\sum_{\bar{g}\in G/H}card(gH)\\
&=\sum_{\bar{g}\in G/H}card(H)\\
&=card(H)\sum_{\bar{g}\in G/H}1\\
&=card(H)card(G/H)
\end{aligned}$
Ma question porte sur la réunion.
Dans de nombreux documents je vois l'écriture $\large E=\cup_{x\in E}\bar{x}$.
J'ai aussi vu l'écriture : $\large E=\cup_{C\in E/\mathcal{R}} C$.
J'ai vu une autre écriture du style : $\large G=\cup_{i\in I} \bar{g_i}$.
Et, dans le cas présent, moi j'écris : $\large G=\cup_{\bar{g}\in G/H}\bar{g}$.
Je ne m'y retrouve pas trop avec ces différentes notations. Sur le site de Christophe Bertault, je trouve cette illustration très parlante avec l'idée qu'avoir la même classe d'équivalence s'exprime en français par "avoir le même ...". Par exemple, avoir le même signe, avoir le même reste, etc.
Mais je n'arrive pas à relier ces illustrations et ces idées, avec les bonnes notations. Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !
$$\large G=\cup_{\bar{g}\in G/H}\bar{g}$$ n'a pas besoin de contexte, et la réunion est disjointe.
L'écriture $$\large G=\cup_{g\in G}\bar{g}$$ est également correcte, mais la réunion n'est pas disjointe, il y a des "répétitions". Si $g$ et $g'$ sont en relation (dans ce contexte ça veut dire que $gg'^{-1} \in H$) alors $\bar{g} = \bar{g'}$.
L'écriture $$\large G=\cup_{i\in I} \bar{g_i}$$ correspond certainement au cas où l'on a choisi un représentant (et un seul) $g_i \in G$ de chaque classe d'équivalence dans $G/H$. Dans ce cas, c'est exactement la même chose que $\large G=\cup_{\bar{g}\in G/H}\bar{g}$ sauf que la réunion est indexée par des éléments de $G$ plutôt que par les éléments de $G/H$, ce qui peut être utile dans certaines situations.
Ces trois écritures peuvent se généraliser sans problème au cas d'une relation d'équivalence $\mathcal R$ quelconque sur un ensemble $E$. Il faut simplement comprendre qu'une relation d'équivalence sur $E$, c'est la même chose qu'une partition de $E$, ça veut juste dire que l'on regroupe par "paquets" les éléments de $E$, en général suivant la fait qu'ils partagent une propriété intéressante, par exemple avoir le même reste modulo $n$, vérifier $gg'^{-1} \in H$. ;-) L'ensemble quotient $E/\mathcal R$ c'est alors juste l'ensemble des paquets !
Je vais prendre l'exemple plus concret de $G=\mathbb{Z}$, $H=3\mathbb{Z}$ et $G/H=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$.
Je peux écrire :
$\large G=\cup_{\bar{g}\in G/H}\bar{g}\iff \mathbb{Z}=\cup_{\bar{g}\in\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}}\bar{g}=\bar{0}\cup\bar{1}\cup\bar{2}$, c'est une union disjointe.
Mais je peux aussi écrire :
$\large G=\cup_{g\in G}\bar{g}\iff \mathbb{Z}=\cup_{g\in \mathbb{Z}}\bar{g}=\cdots\cup\bar{-1}\cup\bar{1}\cup\bar{0}\cup\bar{1}\cup\bar{2}\cup\cdots$, ce n'est pas une union disjointe.
Et enfin :
Dans l'écriture, $\large G=\cup_{i\in I} \bar{g_i}$ et avec cet exemple, il faut comprendre que :
- Je choisis un représentant de chaque classe d'équivalence de G/H. Soit ici $\bar{g_1}=\bar{0}$ ; $\bar{g_2}=\bar{1}$ ; $\bar{g_3}=\bar{2}$.
- J'obtiens un ensemble fini d'indice $I=\{1,2,3\}$
Et alors, on a $\large G=\cup_{i\in I} \bar{g_i}\iff \mathbb{Z}=\cup_{i=1}^3 \bar{g_i}$.
Je pense que c'est beaucoup plus clair !
Dans un autre exercice, j'avais $G$ un groupe agissant sur un ensemble $X$. Et je devais montrer que pour tout $x$ de $X$, on a :
$G$ étant un groupe fini, $G_x$ et $G.x$ stabilisateur et orbite de $x$ sous l'action de $G$.
Je l'avais fait dans un autre cadre, mais la démonstration que je viens de voir me déroute un peu. Voici :
On fixe $x\in X$.
On considère l'application $ \begin{array}{lccl}
f : &G &\rightarrow& G.x \\
&g& \mapsto &g.x
\end{array}$.
a) Elle est surjective car si $y\in G.x$, alors il existe $g\in G$ tel que $y=g.x$. Par suite $f(g)=g.x=y$.
b) On remarque que $f^{-1}(\{x\}):=\{g\in G\mid f(g)=x\}=G_x$.
c) Soit $y\in G.x$, alors il existe $\gamma\in G$ tel que $y=\gamma.x$. On constate alors que $g\in f^{-1}(\{y\})\iff g.x=\gamma.x \iff \gamma^{-1}g\in G_x$.
d) On en déduit que $g\in f^{-1}(\{y\})\iff g\in\gamma G_x$.
e) Et c'est à partir de ce point là que je bloque. Je cite :
Pour tout $y\in G.x$, les ensembles $f^{-1}(\{y\})$ ont donc le même cardinal, égal à $\mathrm{card}(G_x)$. Comme ils forment une partition de $G$, la proposition en résulte.
J'ai cherché une classe d'équivalence, vu qu'on parle de partition. J'ai essayé avec la relation d'équivalence $x\mathcal{R}_Gy \iff f(x)=f(y)$. J'ai vérifié la réflexivité, la symétrie et la transitivité.
Je cherche la classe d'équivalence :
\bar{x}&=\{y\in G\mid x\mathcal{R}_G y\}\\
&=\{y\in G\mid f(x)=f(y)\}\\
&=\{y\in G\mid f(y)\in\{f(x)\}\}\\
&=f^{-1}(\{f(x)\})
\end{aligned}$
Une réunion non disjointe : $G=\bigcup_{x\in G}\bar{x}=\bigcup_{x\in G}f^{-1}(\{f(x)\})$
Une réunion disjointe : $G=\bigcup_{\bar{x}\in G/\mathcal{R}}\bar{x}=\bigcup_{\bar{x}\in G/\mathcal{R}}f^{-1}(\{f(x)\})$
Mais ça ne m'aide pas pour comprendre le point e).
J'ai également essayé de faire le lien avec l'exercice déjà fait en question (ici). Mais l'application $f$ ici, n'est pas un morphisme. Alors je coince.
En effet, en l'écrivant, je trouve :
\begin{aligned}
f(g)=f(g')&\iff g.x=g'.x\\
&\iff g^{-1}.(g.x)=g^{-1}.(g'.x)\\
&\iff x=(g^{-1}g').x\\
&\iff g^{-1}g'\in G_x\\
&\iff g'\in gG_x\\
\end{aligned}
D'où je tire que $\bar{g}:=\{g'\in G\mid g\mathcal{R}_Gg'\}=gG_x$.
Par suite, $\large G=\cup_{\bar{g}\in G/\mathcal{R}_G}gG_x$ (union disjointe) et donc $card(G)=\sum_{\bar{g}\in G/\mathcal{R}_G}card(gG_x)$.
Suis-je sur la bonne voie ?
Je reprends. Je considère l'application $ \begin{array}{lccl}
f : &G &\rightarrow& G.x \\
&g& \mapsto &g.x
\end{array}$.
Je considère ensuite $\mathcal{R}_f$ la relation d'équivalence associée à cette application et $G/\mathcal{R}_f$ l'ensemble quotient correspondant.
Le théorème de factorisation pour les applications assure que l'application $f$ se factorise par la surjection canonique $\pi$ en une application $\overline{f}:G/\mathcal{R}_f\to G.x$.
Puisque $f$ est surjective, $\overline{f}$ l'est aussi.
Puisque la relation d'équivalence est telle que $x\mathcal{R}_f y \Rightarrow f(x)=f(y)$ et, surtout, $f(x)=f(y)\Rightarrow x\mathcal{R}_f y$, alors $\overline{f}$ est injective.
Par conséquent, l'application $\overline{f}$ est une bijection ensembliste.
Explictions la relation d'équivalence $\mathcal{R}_f$.
Je remarque $g\mathcal{R}_f h\iff h\in gG_x$.
Ce qui signifie que $\mathcal{R}_f=\mathcal{R}_{G_x}$ où $\mathcal{R}_H$ est la relation d'équivalence dont l'ensemble quotient est l'ensemble des classes à gauche modulo $H$.
Je peux donc écrire $G/\mathcal{R}_f = G/\mathcal{R}_{G_x} = G/G_x$.
Et, par la bijection induite, $card(G/\mathcal{R}_f)=card(G/G_x)=card(G.x)$.
Le théorème de Lagrange permet de conclure.
Oui, j'ai vu cette preuve. En fait, je voulais une deuxième corde à mon arc.
D'ailleurs, pour cette application, nommons là $\phi_x$, je prouve qu'elle est bien définie et injective.
Je lis "la surjectivité est évidente", sans autre justification supplémentaire.
Intrigué, j'essaye malgré tout de faire la justification en écrivant la définition :
Soit $y\in G.x$. Ainsi, il existe $g\in G$ tel que $y=g.x$ (par définition de l'orbite $G.x$ de $x$ sous l'action de $G$). Et donc, pour ce $g$ là, on a $\phi_x(\bar{g})=g.x=y$.
C-à-d $\phi_x$ est surjective.
Est-ce cela ?
Pour aller au bout, je pense qu'on peut établir une bijection ensembliste entre $G_x$ et $gG_x$.
Ce qui permet d'écrire :
card(G)&=\sum_{\bar{g}\in G/\mathcal{R}_f}card(gG_x)\\
&=\sum_{\bar{g}\in G/\mathcal{R}_f}card(G_x)\\
&=card(G_x)\sum_{\bar{g}\in G/\mathcal{R}_f}1\\
&=card(G_x)card(G/\mathcal{R}_f)\\
\end{aligned}$
Il reste à montrer que $card(G/\mathcal{R}_f)=card(G.x)$.
C'est-à-dire que les ensembles $G/\mathcal{R}_f:=\{\overline{g}\mid g\in G\}$ et $G.x=\{g.x\mid g\in G\}$ ont même cardinaux.
Je manque de méthode pour le faire.
Cela signifie que $\{g\in G\mid g\in f^{-1}(\{y\})\}=\{g\in G\mid g\in\gamma G_x\}$.
D'une part :
$\begin{aligned}
\{g\in G\mid g\in f^{-1}(\{y\})\}&=\{g\in G\mid f(g)=f(\gamma)\}\\
&=\{g\in G\mid \gamma\mathcal{R}_f g\}\\
&=\{\gamma\in G\mid g\mathcal{R}_f\gamma\}\\
&=\bar{g}
\end{aligned}$
D'autre part :
$\begin{aligned}
\{g\in G\mid g\in\gamma G_x\}&=\{g\in G\mid \gamma^{-1}g\in G_x\}\\
&=\{g\in G\mid (\gamma^{-1}g).x=x\}\\
&=\{g\in G\mid g.x=\gamma.x\}\\
&=\{y\in G.x\mid y=g.x\}\\
&=\{g.x\mid g\in G\}\\
&=G.x\\
\end{aligned}$
Donc j'obtiens $\bar{g}=G.x$.
J'ai l'impression d'avoir déraillé quelque part !
Je veux une égalité des cardinaux des ensembles suivants :
$G/\mathcal{R}_f:=\{\overline{g}\mid g\in G\}$ et $G.x=\{g.x\mid g\in G\}$
Ça ne te suffit pas de dire que $\phi_x : gG_x \mapsto g.x$ est une bijection de $G/\mathcal R \longrightarrow G.x$ ?
j'ai une question autour des classes d'équivalence pour l'application suivante :
f & : & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \to & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\
& & \overline{x} & \mapsto & \overline{x}^2 \\
\end{array}$
où $p$ est un nombre premier plus grand que 3.
Pour simplifier, je vais noter $x$ à la place de $\overline{x}$ et $E$ à la place de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. L'application s'écrit donc :
f & : & E & \to & E \\
& & x & \mapsto & x^2 \\
\end{array}$
Sa relation d'équivalence associée est $x\mathcal{R}_f y\iff f(x)=f(y)$.
Je cherche la classe d'équivalence de $x\in E$ :
Si $x=0$, alors $cl(0)=\{y\in E\mid 0\mathcal{R}_f y\}=\{y\in E\mid y^2=0\}=\{0\}$
Si $x\neq 0$, alors :
$\begin{aligned}
cl(x)&=\{y\in E\mid x\mathcal{R}_f y\}\\
&=\{y\in E\mid y^2=x^2\}\\
&=\{y\in E\mid y=\pm x\}\\
&=\{-x\,,+x\}\\
\end{aligned}$
Je détaille le point suivant :
$\begin{aligned}
y^2=x^2&\iff y^2-x^2=0\\
&\iff (y-x)(y+x)=0\\
&\iff y-x=0\,\,ou\,\, y+x=0\\
&\iff y=x\,\,ou\,\,y=-x\\
\end{aligned}$
Et pour justifier les équivalences j'utilise dans l'ordre le fait que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\times)$ soit un anneau puis un corps donc intègre.
Ensuite, par le théorème de factorisation, l'application $f$ se factorise par la surjection canonique $\pi$ en une application $\overline{f}$ au départ de $E/\mathcal{R}_f$ et à valeur dans $E$.
Puisqu'on a l'équivalence $x\mathcal{R}_f y\iff f(x)=f(y)$, alors l'application $\overline{f}$ est injective.
En prenant la corestriction de $f$ à $Im(f)$, on a sa surjectivité donc celle de $\overline{f}$.
Au final, on a une bijection ensembliste entre $E/\mathcal{R}_f$ et $Im(f)$, ce qui permet d'écrire l'égalité :
J'écris ensuite $E/\mathcal{R}_f=\{cl(x)\,:x\in E\}=\{cl(x)\,:x\in E\setminus\{0\}\}\cup\{0\}=\{\{-x,+x\}\,:x\in E\setminus\{0\}\}\cup\{0\}$.
D'où $card(E/\mathcal{R}_f)=card(\{\{-x,+x\}\,:x\in E\setminus\{0\}\})+card(\{0\})=\frac{p-1}{2}+1=\frac{p+1}{2}$.
Et donc $card(Im(f))=\frac{p+1}{2}$.
En conclusion, puisque $Im(f)=\{f(x)\,:x\in E\}=\{x^2\,:x\in E\}$, ou plus précisément $\{\overline{x}^2\,:\overline{x}\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\}$, je déduis qu'il y a dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $\frac{p+1}{2}$ carrés.
Est-ce que mon raisonnement est bon ?
PS. Sauf la phrase "Et pour justifier les équivalences j'utilise dans l'ordre le fait que $(\mathbb{Z},+,\times)$ soit un anneau puis un corps donc intègre.".
$(\mathbb{Z},+,\times)$ est un anneau intègre pas un corps. C'est $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ qui est un corps.
Oui, j'ai bien noté que $p\ge 3$. On a besoin de cette hypothèse car sinon, on peut travailler dans l'ensemble $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1}\}$. Dans ce cas :
- pour $x=0$, $x^2=0$
- pour $x=1$, $x^2=1$
Donc $y^2=x^2$ ssi $x=y$. Je ne sais pas si c'est correctement justifié, mais j'ai saisi l'idée.
Ce qui m'étonne dans cet exercice c'est qu'on écrit $E/\mathcal{R}_f$ ce qui signifie :
Je suis en train de réaliser que, du fait que $x\mathcal{R}_fy \iff f(x)=f(y)$ soit une relation d'équivalence, on retrouve vraiment très souvent les classes d'équivalence !
Voici l'exercice :
Soit $f$ une bijection involutive sur un ensemble fini $E$. Montrer que si $E$ est de cardinal impair, alors $f$ admet au moins un point fixe.
J'introduis donc la relation d'équivalence sus-cité.
Pour cette relation d'équivalence, je cherches les classes d'équivalence :
$\begin{aligned}
Cl(x)&=\{y\in E\mid x\mathcal{R}_f y\}\\
&=\{y\in E\mid f(y)=f(x)\}\\
\end{aligned}$
Cas 1 : si $y\in Fix(f)$
Dans ce cas, on obtient $f(y)=y$.
Donc, d'une part $f(f(y))=f(y)$ et donc $y=f(y)=f(x)$.
D'autre part : $f(y)=f(x)\iff f(f(y))=f(f(x))\iff y=x$.
Ainsi, $y=x=f(x)$.
Cas 2 : si $y\not\in Fix(f)$
Dans ce cas, on a $f(y)\neq y$.
Donc, d'une part $f(f(y))\neq f(y)$ et donc $y\neq f(y)=f(x)$.
D'autre part : $f(y)=f(x)\iff f(f(y))=f(f(x))\iff y=x$.
Ainsi, $y=x\neq f(x)$.
Pas conséquent :
$Cl(x)=\{y\in E\mid y=x\,\,ou\,\,y=f(x)\}$
Dès lors :
- si $x\in Fix(f)$ alors $f(x)=x$ et donc $Cl(x)=\{x\}$
- si $x\not\in Fix(f)$ alors $Cl(x)=\{x,f(x)\}$
J'en déduis :
$E/\mathcal{R}_f=\{Cl(x)\mid x\in E\}=\{Cl(x)\mid x\in Fix(f)\}\cup\{Cl(x)\mid x\not\in Fix(f)\}=\{\{x\}\mid x\in Fix(f)\}\cup\{\{x,f(x)\}\mid x\not\in Fix(f)\}:=F\cup G$
Puis que :
$\begin{aligned}
card(E)&=\sum_{cl(x)\in E/\mathcal{R}_f}card(cl(x))\\
&=\sum_{cl(x)\in F}card(cl(x))+\sum_{cl(x)\in G}card(cl(x))\\
&=\sum_{cl(x)\in F}1+\sum_{cl(x)\in G}2\\
&=card(F)+2card(G)\\
&\equiv card(F)[2]\end{aligned}$
Donc si $E$ est de cardinal impair, alors $card(E)\equiv 1[2]$ et comme $card(F)\equiv card(E)[2]$ alors, par transitivité, $card(F)\equiv 1[2]$.
Donc, nécessairement, $card(F)\ge 1$ : toute involution bijective sur un ensemble de cardinal impair possède un point fixe.
Qu'en pensez-vous ?