Les classes d'équivalence en application

Bonjour Poirot,

merci de la réponse.
Dois-je utiliser la division euclidienne ?

Je vois.
On fait la division euclidienne de $a$ par $n$, ce qui donne :

Donc $a-r=nq$ et donc $\bar{a}=\bar{r}$.

D'où $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in \mathbb{Z}\}=\{\bar{r},\ 0\le r\le n-1\}=\{\overline{0},\ldots,\overline{n-1}\}$.

N'ai-je pas oublié une inclusion réciproque ?

Si $u\in\{\overline{0},\ldots,\overline{n-1}\}$ alors on peut écrire $u=\bar{a}$ avec $a\in\{0,\ldots,n-1\}\subset\mathbb{Z}$.
D'où $u\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{a}\mid a\in\mathbb{Z}\}$.

Est-ce bien cela ?

(tu) Merci !

En fait je viens de réaliser que l'on retombe sur des choses simples avec ce type de partition dans ce cas là. Par exemple, si $n=3$ : Je voudrais faire le même travail avec le groupe des permutations $S(E)$ muni de la loi interne de composition. La relation d'équivalence étant définie par :
$i R j \Leftrightarrow \exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j$.

Est-ce que je le fais en suivant dans ce fil de discussion, ou est-ce que j'en ouvre un autre ?

Donc, par rapport à mon message initial, 1. et 2. n'ont pas lieu d'être.

Je passe directement au 3. Il s'agit de prouver la symétrie, la réflexivité et la transitivité.

- $i\mathcal{R}_E i$ avec $\sigma=Id_E$.

- Si $i\mathcal{R}_E j$ alors $\exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j \Rightarrow i=\sigma^{-p}(j)$ (en effet, $\sigma$ étant bijective d'inverse $\sigma^{-1}$ alors $\sigma^p$ l'est aussi d'inverse $\sigma^{-p}$.

Ce qui prouve que $j\mathcal{R}_E i$

- Si $i\mathcal{R}_E j$ alors $\exists p\in\mathbb{Z},\ \sigma^p(i)=j $
Si $j\mathcal{R}_E k$ alors $\exists q\in\mathbb{Z},\ \sigma^q(j)=k$

D'où $\sigma^q(j)=\sigma^q(\sigma^p(i))=\sigma^{p+q}(i)=k$ et donc $i\mathcal{R}_E k$.

C'est donc bien une relation d'équivalence.
Qu'en pensez-vous ?

Ah oui, c'est plutôt :

$i\mathcal{R}_Ei$ puisqu'il existe $p=0$ de sorte que $\sigma^p(i)=i$.

Je pense que je viens de comprendre, non sans mal !

Je reprends. Je considère l'application $ \begin{array}{lccl}
f : &G &\rightarrow& G.x \\
&g& \mapsto &g.x
\end{array}$.

Je considère ensuite $\mathcal{R}_f$ la relation d'équivalence associée à cette application et $G/\mathcal{R}_f$ l'ensemble quotient correspondant.

Le théorème de factorisation pour les applications assure que l'application $f$ se factorise par la surjection canonique $\pi$ en une application $\overline{f}:G/\mathcal{R}_f\to G.x$.

Puisque $f$ est surjective, $\overline{f}$ l'est aussi.

Puisque la relation d'équivalence est telle que $x\mathcal{R}_f y \Rightarrow f(x)=f(y)$ et, surtout, $f(x)=f(y)\Rightarrow x\mathcal{R}_f y$, alors $\overline{f}$ est injective.

Par conséquent, l'application $\overline{f}$ est une bijection ensembliste.

Explictions la relation d'équivalence $\mathcal{R}_f$.

Je remarque $g\mathcal{R}_f h\iff h\in gG_x$.

Ce qui signifie que $\mathcal{R}_f=\mathcal{R}_{G_x}$ où $\mathcal{R}_H$ est la relation d'équivalence dont l'ensemble quotient est l'ensemble des classes à gauche modulo $H$.

Je peux donc écrire $G/\mathcal{R}_f = G/\mathcal{R}_{G_x} = G/G_x$.

Et, par la bijection induite, $card(G/\mathcal{R}_f)=card(G/G_x)=card(G.x)$.

Le théorème de Lagrange permet de conclure.

Bonjour,

j'ai une question autour des classes d'équivalence pour l'application suivante :

où $p$ est un nombre premier plus grand que 3.

Pour simplifier, je vais noter $x$ à la place de $\overline{x}$ et $E$ à la place de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. L'application s'écrit donc :

Sa relation d'équivalence associée est $x\mathcal{R}_f y\iff f(x)=f(y)$.

Je cherche la classe d'équivalence de $x\in E$ :

Si $x=0$, alors $cl(0)=\{y\in E\mid 0\mathcal{R}_f y\}=\{y\in E\mid y^2=0\}=\{0\}$

Si $x\neq 0$, alors :
$\begin{aligned}
cl(x)&=\{y\in E\mid x\mathcal{R}_f y\}\\
&=\{y\in E\mid y^2=x^2\}\\
&=\{y\in E\mid y=\pm x\}\\
&=\{-x\,,+x\}\\
\end{aligned}$

Je détaille le point suivant :
$\begin{aligned}
y^2=x^2&\iff y^2-x^2=0\\
&\iff (y-x)(y+x)=0\\
&\iff y-x=0\,\,ou\,\, y+x=0\\
&\iff y=x\,\,ou\,\,y=-x\\
\end{aligned}$

Et pour justifier les équivalences j'utilise dans l'ordre le fait que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\times)$ soit un anneau puis un corps donc intègre.

Ensuite, par le théorème de factorisation, l'application $f$ se factorise par la surjection canonique $\pi$ en une application $\overline{f}$ au départ de $E/\mathcal{R}_f$ et à valeur dans $E$.

Puisqu'on a l'équivalence $x\mathcal{R}_f y\iff f(x)=f(y)$, alors l'application $\overline{f}$ est injective.

En prenant la corestriction de $f$ à $Im(f)$, on a sa surjectivité donc celle de $\overline{f}$.

Au final, on a une bijection ensembliste entre $E/\mathcal{R}_f$ et $Im(f)$, ce qui permet d'écrire l'égalité :

J'écris ensuite $E/\mathcal{R}_f=\{cl(x)\,:x\in E\}=\{cl(x)\,:x\in E\setminus\{0\}\}\cup\{0\}=\{\{-x,+x\}\,:x\in E\setminus\{0\}\}\cup\{0\}$.

D'où $card(E/\mathcal{R}_f)=card(\{\{-x,+x\}\,:x\in E\setminus\{0\}\})+card(\{0\})=\frac{p-1}{2}+1=\frac{p+1}{2}$.

Et donc $card(Im(f))=\frac{p+1}{2}$.

En conclusion, puisque $Im(f)=\{f(x)\,:x\in E\}=\{x^2\,:x\in E\}$, ou plus précisément $\{\overline{x}^2\,:\overline{x}\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\}$, je déduis qu'il y a dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $\frac{p+1}{2}$ carrés.

Est-ce que mon raisonnement est bon ?

Je viens d'en faire un autre aujourd'hui.

Je suis en train de réaliser que, du fait que $x\mathcal{R}_fy \iff f(x)=f(y)$ soit une relation d'équivalence, on retrouve vraiment très souvent les classes d'équivalence !

Voici l'exercice :
Soit $f$ une bijection involutive sur un ensemble fini $E$. Montrer que si $E$ est de cardinal impair, alors $f$ admet au moins un point fixe.

J'introduis donc la relation d'équivalence sus-cité.
Pour cette relation d'équivalence, je cherches les classes d'équivalence :

$\begin{aligned}
Cl(x)&=\{y\in E\mid x\mathcal{R}_f y\}\\
&=\{y\in E\mid f(y)=f(x)\}\\
\end{aligned}$

Cas 1 : si $y\in Fix(f)$
Dans ce cas, on obtient $f(y)=y$.
Donc, d'une part $f(f(y))=f(y)$ et donc $y=f(y)=f(x)$.
D'autre part : $f(y)=f(x)\iff f(f(y))=f(f(x))\iff y=x$.
Ainsi, $y=x=f(x)$.

Cas 2 : si $y\not\in Fix(f)$
Dans ce cas, on a $f(y)\neq y$.
Donc, d'une part $f(f(y))\neq f(y)$ et donc $y\neq f(y)=f(x)$.
D'autre part : $f(y)=f(x)\iff f(f(y))=f(f(x))\iff y=x$.
Ainsi, $y=x\neq f(x)$.

Pas conséquent :
$Cl(x)=\{y\in E\mid y=x\,\,ou\,\,y=f(x)\}$

Dès lors :
- si $x\in Fix(f)$ alors $f(x)=x$ et donc $Cl(x)=\{x\}$
- si $x\not\in Fix(f)$ alors $Cl(x)=\{x,f(x)\}$

J'en déduis :
$E/\mathcal{R}_f=\{Cl(x)\mid x\in E\}=\{Cl(x)\mid x\in Fix(f)\}\cup\{Cl(x)\mid x\not\in Fix(f)\}=\{\{x\}\mid x\in Fix(f)\}\cup\{\{x,f(x)\}\mid x\not\in Fix(f)\}:=F\cup G$

Puis que :
$\begin{aligned}
card(E)&=\sum_{cl(x)\in E/\mathcal{R}_f}card(cl(x))\\
&=\sum_{cl(x)\in F}card(cl(x))+\sum_{cl(x)\in G}card(cl(x))\\
&=\sum_{cl(x)\in F}1+\sum_{cl(x)\in G}2\\
&=card(F)+2card(G)\\
&\equiv card(F)[2]\end{aligned}$

Donc si $E$ est de cardinal impair, alors $card(E)\equiv 1[2]$ et comme $card(F)\equiv card(E)[2]$ alors, par transitivité, $card(F)\equiv 1[2]$.

Donc, nécessairement, $card(F)\ge 1$ : toute involution bijective sur un ensemble de cardinal impair possède un point fixe.

Qu'en pensez-vous ?