Nombres premiers formule d'Euler
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Existe-t-il dans la littérature une preuve montrant qu'il existe une infinité de valeurs entières de X
telles que
Pour ma part je n'ai seulement pu découvrir (ou redécouvrir) que quelques propriétés des diviseurs de cette formule.
Merci de m'éclairer.
Existe-t-il dans la littérature une preuve montrant qu'il existe une infinité de valeurs entières de X
telles que
T(X) = X2 + X + 41 soit un nombre premier ?
ou la proposition inverse ?Pour ma part je n'ai seulement pu découvrir (ou redécouvrir) que quelques propriétés des diviseurs de cette formule.
Merci de m'éclairer.
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Réponses
Par contre la proposition inverse est facile à établir : $P(41k)$ est composé pour tout $k \geq 1$.
À une variable, non, mais si tu autorises (au moins) deux variables, si, avec des méthodes de crible. Par exemple pour le degré $2$, si $F(x,y) = ax^2 + bxy + c^2 + dx + fy + g \in \mathbb{Z}[x,y]$ tels que $(a,b,c,d,f,g) = 1$, $F$ irréductible dans $\mathbb{Q}[x,y]$, $\partial F / \partial x$ et $\partial F / \partial y$ linéairement indépendants, avec $b^2-4ac$ qui n'est pas un carré et $af^2-bdf+cd^2 - g(b^2-4ac) \neq 0$, alors
$$\sum_{\substack{p \leqslant x \\ p = F(m,n)}} 1 \asymp x (\log x)^{-3/2}.$$
Le problème dans le cas des polynômes à une variable de degré $\geqslant 2$ réside dans le fait que la suite étudiée est très lacunaire. En ajoutant une (ou plusieurs) variables, on améliore cette situation.
Notons que, dans les cas des polynômes à une variable, on a toutefois le résultat général suivant, dû à Richert.
Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ irréductible de degré $d \geqslant 1$ et coefficient dominant $> 0$. On suppose aussi (de manière classique) que le nombre de solutions de la congruence $P(x) \equiv 0 \pmod p$ est $< p$ pour tout $p \leqslant d$. Alors, pour $x$ suffisamment grand
$$\sum_{\substack{n \leqslant x \\ \omega(P(n)) \leqslant d+1}} 1 \gg x (\log x)^{-1}.$$
Par exemple avec $d=2$, le polynôme $P$ représente une infinité d'entiers ayant au plus $3$ facteurs premiers distincts.