Équation $mn=m^n$
dans Arithmétique
Bonjour, je cherche une démonstration purement arithmétique du fait suivant :
si $mn=m^n$ avec $m,n$ tous deux entiers strictement supérieurs à 1, alors $m=n=2$.
Je vois bien qu'il faut démontrer par l'absurde en utilisant une récurrence mais je ne vois pas l'hypothèse de récurrence.
Merci d'avance.
(Il s'agit de l'exercice 5, du tome d'algèbre A, I, §1 de Bourbaki)
si $mn=m^n$ avec $m,n$ tous deux entiers strictement supérieurs à 1, alors $m=n=2$.
Je vois bien qu'il faut démontrer par l'absurde en utilisant une récurrence mais je ne vois pas l'hypothèse de récurrence.
Merci d'avance.
(Il s'agit de l'exercice 5, du tome d'algèbre A, I, §1 de Bourbaki)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
"Je vois bien qu'il faut démontrer par l'absurde en utilisant une récurrence " Ah bon ?
Il me semble qu'il y a des tas d'autres moyens, ne serait-ce que par séparation de cas, ou en remarquant que n doit diviser $m^n$.
Pour ma part, j'aurais examiné les cas m=2 et n=2, puis examiné ce qui se passe quand m>2 et n>2.
Cordialement.