Question sur la conjecture de Goldbach

Aujourd'hui il y a plein d'équipes qui ont fait tourner des ordinateurs, pendant des mois. Ils ont vérifié la conjecture pour des nombres très grands, et pour tous les nombres testés (des nombres pairs bien sûr), on a trouvé au moins une décomposition en somme de 2 nombres premiers.
Dans les faits, quand n est très grand (disons n est un nombre avec 50 chiffres), on trouve non seulement une décomposition en somme de 2 nombres premiers, mais on en trouve systématiquement des milliers.

L'expérience "montre" que : pour n pair et très grand, on trouve systématiquement plusieurs milliers de couples de nombres premiers p et p', tels que p+p'=n (je mets le verbe "montrer" entre guillemets, parce que justement, ça ne montre rien, au sens mathématique du terme).

Ça conforte dans l'idée que même si on recherche avec des n encore plus grand, on trouvera toujours au moins un couple de nombre premiers.
Tout le monde est archi-convaincu de ça...
Mais ça ne fait pas une preuve.

Donc quand quelqu'un dit : j'ai fait les mêmes calculs, sur quelques nombres, ça ne sert à rien, ce n'est pas un argument, c'est vide. Ça sert à illustrer, au cas où un lecteur ne connaîtrait pas le sujet. Mais ça ne prouve rien. D'autres ont déjà fait les mêmes calculs, pas seulement sur une dizaine de nombres, mais sur des milliards de milliards, et même à ce niveau, ce n'est pas une preuve.

Le point que personne n'arrive à atteindre, c'est de bâtir une démonstration.

Bâtir une conviction, c'est facile : on fait les calculs, sur énormément de nombres, et on constate que systématiquement, il y a une solution.
Mais ça, c'est une conviction, ou une croyance. Pas une démonstration.

Ça reste très vague, il y a sûrement plusieurs méthodes d'attaque connues. Je peux te citer le

Théorème (Chen, 1966) : tout entier pair suffisamment grand est somme d'un nombre premier, et d'un nombre presque premier (c'est-à-dire premier ou produit de deux nombres premiers).

Personne n'est parvenu à transformer la condition sur le deuxième terme en "nombre premier". La raison profonde étant ce que l'on appelle la "barrière de parité", qui grossièrement dit que les méthodes de cribles seules ne peuvent distinguer entre les ensembles de nombres ayant nombre pair de facteurs premiers des ensembles de nombres ayant un nombre impair de facteurs premiers.

On ne sait également pas transformer le "suffisamment grand" en "plus grand que $4$". D'après Wikipedia, la plus petite borne connue à ce jour est gigantesque : $e^{e^{36}}$.