Équation dans $N^*$

Bonjour

On utilise
$y\geq x \Rightarrow z y \geq z x$ si $z>0. $


Si tu n'aimes pas l'arithmétique tu passes par l'analyse.

C'est équivalent à f(x)=f(y) avec f(x)=ln(x)/x. Une simple étude montre que f(x) est croissante de 1 à exp(1)
puis décroissante.
Donc la seule valeur entière possible pour x c'est x=2. On trouve y=4.

C'est encore assez dur parce qu'il faut partir de $x\ge2$ et $2^{m-1}>m$ pour faire intervenir $x^{m-1}$. Eh bien, fastoche : de $x\ge2$ on déduit que $x^{m-1}\ge2^{m-1}$ et donc, en faisant le rapprochement avec $2^{m-1}>m$, on trouve que $x^{m-1}>m$. Et là c'est gagné : comme les relations $x^{m-1}=m$ et $x^{m-1}>m$ ne sont pas compatibles, il n'y a pas de solutions avec $m>2$. Comme il n'y a pas d'entiers entre $1$ (exclu) et $2$, cela veut dire que $m\le1$.

Pour montrer que $2^{m-1}>m$, on procède par exemple par récurrence.

Ce serait bien de (sa)voir spontanément que les puissances grandissent beaucoup plus vite que les entiers (fonction exponentielle versus polynôme, ou bien suite géométrique versus suite arithmétique) donc ce n'est pas une inégalité étonnante. De plus, elle est « de plus en plus vraie », c'est-à-dire que quand on passe de $m$ à $m+1$, l'un double et l'autre augmente de $1$. Cette remarque simple rend la récurrence très naturelle.

Si on ne fait pas cette remarque simple, on essaie de faire une récurrence par réflexe conditionné !

Si on refuse la récurrence, on définit une fonction $f$ sur $\R$ par $f(x)=2^{x-1}-x$, on la dérive : $f'(x)=\ln(2)2^{x-1}-1$, on voit qu'elle s'annule en $\frac{\ln2-\ln\ln2}{\ln2}=1-\frac{\ln\ln2}{\ln2}$, qui est quelque part entre $1$ et $2$, si bien que $f$ est décroissante puis croissante, en tout cas strictement croissante sur $\left[2,+\infty\right[$, et on conclut puisque $f(2)=0$ (premier graphe). Cela devrait être un réflexe conditionné.

Si on refuse une étude de fonction, on vérifie que la fonction $g:x\mapsto2^{x-1}$ est convexe (eh ! sa dérivée seconde est $g'':x\mapsto\ln(2)^22^{x-1}$ !), si bien que pour $x\ge2$, on a $g(x)\ge\ln(2)2^{2-1}(x-2)+2\ge x$ en comparant la courbe à la tangente (deuxième graphe). Cela pourrait être un réflexe conditionné.

Force est de constater que si d'aventure j'étais dans le jury du CAPES, j'attendrais qu'un.e candidat.e trouve (au moins) une façon de démontrer cette inégalité.

C'est dans le cadre que tu as élégamment dessiné en rouge :

Le corrigé a écrit:

Si l'on suppose $x\le y$... on trouve une seule solution où $x<y$ (c'est-à-dire $m\ge2$), $(x,y)=(2,4)$.

Le corrigé semble laisser au lecteur le soin de traiter de même le cas où $x\ge y$, qui conduit – laissons l'intuition parler – à la seule solution $(x,y)=(4,2)$ (pour $m\ge2$). En tout, deux solutions non triviales (avec $x\ne y$).