Divisibilité par 7 et par 13
dans Arithmétique
Bonsoir
J'ai réussi un exercice le premier du chapitre sur les critères de divisibilité par 2, 3, 5, et 11 mais je bute sur celui-ci et quand j'observe rapidement la correction je ne comprends pas la logique. L'auteur parle de $10^{3p}+1$ et de $10^{3p}-1$.
On remarque que $1001=7 \times 11 \times 13$. En déduire un critère de divisibilité par $13$.
Si $n$ s'écrit dans le système décimal $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0}$, on pourra considérer les nombres $\overline{a_2 a_1 a_0}$, $\overline{a_5 a_4 a_3}$, $\overline{a_8 a_7 a_6}$.
Je ne saisis pas l'intérêt de l'indication en fait.
J'ai réussi un exercice le premier du chapitre sur les critères de divisibilité par 2, 3, 5, et 11 mais je bute sur celui-ci et quand j'observe rapidement la correction je ne comprends pas la logique. L'auteur parle de $10^{3p}+1$ et de $10^{3p}-1$.
On remarque que $1001=7 \times 11 \times 13$. En déduire un critère de divisibilité par $13$.
Si $n$ s'écrit dans le système décimal $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0}$, on pourra considérer les nombres $\overline{a_2 a_1 a_0}$, $\overline{a_5 a_4 a_3}$, $\overline{a_8 a_7 a_6}$.
Je ne saisis pas l'intérêt de l'indication en fait.
Réponses
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Il s'agit juste de remarquer que $10^3 = 1000 \equiv -1$ mod $13$.
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Oui $10 \equiv -3 [13]$ donc $10^2 \equiv 9 [13] \equiv -4 [13] $ soit $10^3 \equiv 12 \equiv -1 [13]$
Donc $10^6 \equiv 1[13]$
Puis :
$\overline{a_p \cdots a_0}=\overline{a_0 a_1 a_2}+10^3 \overline{a_2 a_3 a_4} + 10^6 \overline{a_5 a_6 a_7} + \cdots $
Soit $\overline{a_p \cdots a_0}=\overline{a_0 a_1 a_2} - \overline{a_2 a_3 a_4} + \overline{a_5 a_6 a_7} + \cdots$
Après je bloque et à quoi sert le $1001$ ? -
Bon sang, lis-tu les messages que l'on t'écrit ??? Si $1001 \equiv 0$ mod $13$ alors $1000 \equiv \text{?}$ mod $13$.
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Finalement, O Shine n'a pas eu vraiment besoin de l'information qu'on donne dans l'énoncé, il a donné la réponse tout seul.
Au vrai, perso, je n'ai pas compris tout de suite pourquoi le fait que 1000 = -1 [13] peut servir dans le critère de divisibilité. C'est une info à laquelle on va accéder de toute façon par une recherche personnelle telle que l'a faite O Shine. Evidemment, pour un autre nombre plus grand, 10^n = - 1 [p] donnera tout de suite la solution sans avoir à chercher si ce -1 existe et où il se trouve. De plus, on remarquera que l'info donnée ne dit pas si ce -1 est la plus petite solution. Cependant, il fallait voir que le 3 de 10^3 est premier, ce qui implique que c'est effectivement la plus petite valeur, mais là c'est tout de même sacrément subtil ! -
@Nodgim je n'ai pas réussi à résoudre l'exercice.
Je ne comprends pas le corrigé qui est farfelu.
On sait que $10^{3p} \equiv (-1)^{3p} [13]$
Le reste de la division euclidienne de $10^{3p}$ par $1001$ est $1$ si $p$ est pair, $1000$ sinon.
Je ne comprends pas le rapport entre reste de la divisibilité par $13$ et le reste de la divisibilité par $1001$.
De plus $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} = \overline{a_2 a_1 a_0} + \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 + \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots $
On en déduit que $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ est un multiple de $1001$ donc de $13$.
Je n'ai pas compris pourquoi tout ceci est un multiple de $1001$. -
Tu es sûr que 1001 peut diviser une puissance de 10 ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Ok merci j'ai compris la première partie : $ 10 \equiv 10 [1001] \implies 10^3 \equiv 1000 \equiv -1[1001]$
Mais je bute sur la fin pourquoi la quantité totale $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ est un multiple de $1001$ ?
Serait-il possible de l'exprimer avec une somme indexée ? -
Le nombre en question: $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ vaut 0 ; c'est donc un multiple de 1001.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Ok merci mais ce n'est pas plus simple de raisonner comme j'ai fait au départ ?
Le $1001$ je trouve qu'il n'a aucun intérêt. Je parle d'utiliser l'égalité avec les $10^3$ $10^6$ et travailler directement modulo $13$...
Pareil modulo $7$ on a :
$10 \equiv 3 [7]$ donc $10^2 \equiv 2 [7] \implies 10^3 \equiv -1 [7]$
Puis $10^6 \equiv 1 [7]$
Ce qui donne $\overline{a_p \cdots a_0} \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} + \overline{a_8 a_7 a_6} - \cdots [7] $
Prenons $n=55 986$ il s'écrit $\overline{055986} \equiv \overline{986} - \overline{055} \equiv 986 -55 \equiv 931 [7]$
Ça ne marche pas je ne comprends pas mon erreur :-S -
Je trouve les mêmes critères pour la divisibilité par $13$ et par $7$.
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C’est normal, et tu as le même critère par 11 en bonus. :-DAlgebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Pourquoi dis-tu que ça ne marche pas ? 55986 est un multiple de 7, et 931 également. Tout va bien.
Ce sera ma dernière aide. Tu as besoin de te reposer, et en répondant à tes questions, on t'incite en fait à t'enfoncer encore plus.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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