Divisibilité par 7 et par 13

OShine · February 2020

Bonsoir
J'ai réussi un exercice le premier du chapitre sur les critères de divisibilité par 2, 3, 5, et 11 mais je bute sur celui-ci et quand j'observe rapidement la correction je ne comprends pas la logique. L'auteur parle de $10^{3p}+1$ et de $10^{3p}-1$.

On remarque que $1001=7 \times 11 \times 13$. En déduire un critère de divisibilité par $13$.
Si $n$ s'écrit dans le système décimal $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0}$, on pourra considérer les nombres $\overline{a_2 a_1 a_0}$, $\overline{a_5 a_4 a_3}$, $\overline{a_8 a_7 a_6}$.

Je ne saisis pas l'intérêt de l'indication en fait.

Poirot · February 2020

Il s'agit juste de remarquer que $10^3 = 1000 \equiv -1$ mod $13$.

OShine · February 2020

Oui $10 \equiv -3 [13]$ donc $10^2 \equiv 9 [13] \equiv -4 [13] $ soit $10^3 \equiv 12 \equiv -1 [13]$

Donc $10^6 \equiv 1[13]$

Puis :
$\overline{a_p \cdots a_0}=\overline{a_0 a_1 a_2}+10^3 \overline{a_2 a_3 a_4} + 10^6 \overline{a_5 a_6 a_7} + \cdots $

Soit $\overline{a_p \cdots a_0}=\overline{a_0 a_1 a_2} - \overline{a_2 a_3 a_4} + \overline{a_5 a_6 a_7} + \cdots$

Après je bloque et à quoi sert le $1001$ ?

Poirot · February 2020

Bon sang, lis-tu les messages que l'on t'écrit ??? Si $1001 \equiv 0$ mod $13$ alors $1000 \equiv \text{?}$ mod $13$.

nodgim · February 2020

Finalement, O Shine n'a pas eu vraiment besoin de l'information qu'on donne dans l'énoncé, il a donné la réponse tout seul.

Au vrai, perso, je n'ai pas compris tout de suite pourquoi le fait que 1000 = -1 [13] peut servir dans le critère de divisibilité. C'est une info à laquelle on va accéder de toute façon par une recherche personnelle telle que l'a faite O Shine. Evidemment, pour un autre nombre plus grand, 10^n = - 1 [p] donnera tout de suite la solution sans avoir à chercher si ce -1 existe et où il se trouve. De plus, on remarquera que l'info donnée ne dit pas si ce -1 est la plus petite solution. Cependant, il fallait voir que le 3 de 10^3 est premier, ce qui implique que c'est effectivement la plus petite valeur, mais là c'est tout de même sacrément subtil !

OShine · February 2020

@Nodgim je n'ai pas réussi à résoudre l'exercice.
Je ne comprends pas le corrigé qui est farfelu.

On sait que $10^{3p} \equiv (-1)^{3p} [13]$

Le reste de la division euclidienne de $10^{3p}$ par $1001$ est $1$ si $p$ est pair, $1000$ sinon.

Je ne comprends pas le rapport entre reste de la divisibilité par $13$ et le reste de la divisibilité par $1001$.

De plus $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} = \overline{a_2 a_1 a_0} + \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 + \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots $

On en déduit que $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ est un multiple de $1001$ donc de $13$.

Je n'ai pas compris pourquoi tout ceci est un multiple de $1001$.

nicolas.patrois · February 2020

Tu es sûr que 1001 peut diviser une puissance de 10 ?

OShine · February 2020

Ok merci j'ai compris la première partie : $ 10 \equiv 10 [1001] \implies 10^3 \equiv 1000 \equiv -1[1001]$

Mais je bute sur la fin pourquoi la quantité totale $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ est un multiple de $1001$ ?

Serait-il possible de l'exprimer avec une somme indexée ?

lourrran · February 2020

Le nombre en question: $\overline{a_p a_{p-1} \cdots a_1 a_0} - \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} \times 10^3 - \overline{a_8 a_7 a_6} \times 10^6 + \cdots$ vaut 0 ; c'est donc un multiple de 1001.

OShine · February 2020

Ok merci mais ce n'est pas plus simple de raisonner comme j'ai fait au départ ?

Le $1001$ je trouve qu'il n'a aucun intérêt. Je parle d'utiliser l'égalité avec les $10^3$ $10^6$ et travailler directement modulo $13$...

Pareil modulo $7$ on a :

$10 \equiv 3 [7]$ donc $10^2 \equiv 2 [7] \implies 10^3 \equiv -1 [7]$
Puis $10^6 \equiv 1 [7]$

Ce qui donne $\overline{a_p \cdots a_0} \equiv \overline{a_2 a_1 a_0} - \overline{a_5 a_4 a_3} + \overline{a_8 a_7 a_6} - \cdots [7] $

Prenons $n=55 986$ il s'écrit $\overline{055986} \equiv \overline{986} - \overline{055} \equiv 986 -55 \equiv 931 [7]$

Ça ne marche pas je ne comprends pas mon erreur :-S

OShine · February 2020

Je trouve les mêmes critères pour la divisibilité par $13$ et par $7$.

nicolas.patrois · February 2020

C’est normal, et tu as le même critère par 11 en bonus. :-D

lourrran · February 2020

Pourquoi dis-tu que ça ne marche pas ? 55986 est un multiple de 7, et 931 également. Tout va bien.

Ce sera ma dernière aide. Tu as besoin de te reposer, et en répondant à tes questions, on t'incite en fait à t'enfoncer encore plus.

OShine · February 2020

@Lourran

En effet mon cerveau sature :-o

J'ai terminé l'exercice de toute façon.

Divisibilité par 7 et par 13

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