Un petit exercice de vacances

bisam · February 2020

Bonjour à tous,

Je vous soumets un petit exercice de mon cru, mêlant probabilités et arithmétique.
Soit $\left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\right)$ un espace probabilisé. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur $\left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}\right)$ telles que $X$ suit la loi uniforme sur l'ensemble $\{ 1,\dots,n\}$ des entiers de $1$ à $n$ et pour tout $k\in \{ 1,\dots,n\}$, la variable $(X,Y)$ suit la loi uniforme sur $ \{k\}\times\{ 1,\dots,k\}$ pour la probabilité $\mathbb{P}_{X=k}$.

Déterminer le plus petit entier $n\geq 2$ tel que l'espérance $\mathbb{E}(Y)$ et l'écart-type $\sigma(Y)$ soient tous les deux entiers.
Le but étant de chercher arithmétiquement, toute utilisation de l'informatique ne sera pas considérée comme une réponse valable (même si elle est tentante).

On peut corser l'exercice (et empêcher toute utilisation de l'informatique) en demandant TOUS les entiers $n$ qui conviennent...

Bonne recherche.

PS : J'ai essayé de formuler l'exercice avec uniquement des variables aléatoires pour qu'il n'y ait aucune ambiguïté d'énoncé avec des tirages d'urnes et de boules... mais il se peut que j'ai mal traduit donc j'espère ne pas m'être trompé.

noobey · February 2020

Tu veux plutôt dire que la loi de Y sachant X = k est une loi uniforme sur 1,k ?

bisam · February 2020

Il me semble que c'est la même chose que ce que j'ai dit...

rebellin · February 2020

Je me lance : je trouve $n=57.$

Voici ma méthode :
1) J'ai déterminé la loi de $Y,$ calculé l'espérance (j'ai trouvé $E(Y)=\frac{n+3}{4}$) et l'écart-type (j'ai trouvé $\sigma(Y)=\frac{1}{4}\sqrt{2n^2+3n-5}$).
2) Pour que $E(Y)$ soit un entier, il faut que $n=1+4p$ pour un certain entier $p.$ Puis pour que $\sigma(Y)$ soit un entier, que $n=1+8q$ pour un certain entier $q.$
3) L'expression simplifiée de l'écart-type est alors $\sqrt{q(8q+7)}.$ J'ai essayé $q=1,$ puis $q=2,~\dots$ jusqu'à ce que ça donne un entier, pour $q=7.$
4) La réciproque : pour $n=57,$ on a $E(Y)=15$ et $\sigma(Y)=21.$ Ce sont bien des entiers.

Promis, juré, j'ai tout fait de tête. Il y a d'ailleurs sûrement des erreurs de calcul, je n'ai rien vérifié (ça m'a amusé de chercher, mais ça ne m'amuse pas de vérifier !).

Quant à trouver toutes les solutions, il faut chercher tous les $q\in\mathbb{N}$ tels que $q(8q+7)$ soit un carré....

bisam · February 2020

À mon avis, tu as fait une erreur dans le calcul de la variance.

rebellin · February 2020

Ah, mince. Je ne recommence pas.

marco · February 2020

Pour l'écart-type, j'ai trouvé $\sqrt{\frac{25}{9} E(Y)^2-3E(Y)+\frac{2}{9}}$

marco · February 2020

Si on note $x+1=E(Y)$ qui est un entier, on déduit $25(x+1)^2-27(x+1)+2=9y^2$ avec $y$ entier.
Donc $25x^2+50x+25-27x-27+2=9y^2$, donc $25x^2+23x=9y^2$.
Donc $x(25x+23)=9y^2$.
Si $p$ un nombre premier divise $x$ et $25x+23$, alors il divise $23$, donc $p=23$. Donc soit $x$ et $25x+23$, sont premiers entre eux, soit ils sont divisibles par $23$ tous les deux.

Si ils sont divisibles par $23$, on note $x=23z$, alors $z(25z+1)=9t^2$ avec $t=y/23$. Or $z$ et $25z+1$ sont premiers entre eux, donc $z$ est un carré et $25z+1$ aussi. $z=u^2$, alors $25u^2+1=v^2$, donc $(v-5u)(v+5u)=1$, donc $v-5u=1$ ou $-1$ et $v+5u=1$ ou $-1$, on peut supposer $v$ et $u$ supérieurs ou égaux à $0$, donc $v+5u=1$, donc $v=1$, $u=0$, donc $z=u^2=0$, donc $x=23z=0$, qui correspond à $E(Y)=1$ c'est-à-dire $n=1$, or on suppose $n \geq 2$.

Donc $x$ et $25x+23$ premiers entre eux, donc $x=u^2$, $25x+23=v^2$, donc $23=(v-5u)(v+5u)$, donc $v+5u=23$, $v-5u=1$, donc $2v=24$ et $v=12$, mais alors $u$ n'est pas entier, donc je ne trouve pas de solution.

J'ai du faire une erreur...

jandri · February 2020

Merci pour ce bel exercice.

Je trouve $n=181$ comme plus petite solution (et $n=46081$ pour la suivante).

LOU16 · February 2020

Bonsoir,

Ce qui suit répète et confirme le message de Jandri.
Soit $(u_n)_{n\in \N}$ la suite définie par $u_0=1,\:\:u_1 =181,\:\: \forall n \in \N,\:\:\: u_{n+2} = 254\: u_{n+1} - u_n +108.$
J'ai trouvé que $ \mathbb E(Y_n) = \dfrac {n+3}4,\quad \mathbb V(Y_n) = \dfrac {7n^2+6n-13}{12^2}, \quad$ puis que: $$\Big\{n \in \N^* \mid \mathbb E(Y_n) \in \N,\: \sigma(Y_n) \in \N \Big\}= \Big\{ u_k \mid k \in \N\Big\}.$$
De plus , si $n= u_k$, alors $\:\: \sigma(Y_n) = v_k,\:\: $ où $v_k$ est défini par $\:v_0 =0,\:\: v_1 =40,\:\: \forall k \in \N,\: v_{k+2} =254 \: v_{k+1} -v_k.$

marco · February 2020

Oui, l'écart-type est $\sqrt{\frac{7}{9}E(Y)^2-E(Y)+\frac{2}{9}}$ plutôt.

bisam · February 2020

Bravo Jandri et Lou18 !

Je suis preneur d'une petite explication pour la relation de récurrence que tu as trouvée, Lou18.
Ma résolution de l'équation de Pell qui apparaissait ne m'a pas permis de trouver quelque chose d'aussi simple.

LOU16 · February 2020

Bonjour Bisam,
Encore merci pour ton énoncé.

On est donc conduit à chercher les $(n,Y) \in \N^2$ tels que $\:7n^2+6n -13 =Y^2\quad (1)\qquad$ et $\:\: n \equiv 1 \mod 4,\:\:\quad Y \equiv 0 \mod 12.$
$(1) \iff (7n+3)^2-7Y^2 = 100.$
En raisonnant $\mod 5\:$ puis $\mod 100,\:$ on s'assure que : $X,Y \in \N,\:\:X^2 -7Y^2 = 100 \implies X \equiv Y \equiv 0 \mod 10 $.
En notant $7n+3 =X=10x,\:\: Y=10y$, on obtient :$\quad x^2 -7y^2 =1, \quad x,y \in \N, \:\:x \equiv 1 \mod 7,\: x\equiv 1 \mod2,\:\: y \equiv 0 \mod 6.$
C'est le moment où il est agréable de "savoir" que, avec $A=\begin{pmatrix} 8 &21\\3 &8 \end{pmatrix}$, on a l'équivalence: $$ \:\: x^2 -7y^2 =1 ,\:\:x,y \in \N \iff \exists k \in \N,\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_k\\y_k \end{pmatrix}=A^k \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} .$$
Les suites $(x_k)$ et $(y_k)$ sont alors régies par une relation de récurrence linéaire d'ordre $2$, dont le polynôme caractéristique est $$\chi_A(X) =X^2-16X+1.$$
En utilisant ces relations, il est facile de voir que les trois conditions de congruences imposées à $x$ et $y$ sont satisfaites si et seulement si $k$ est pair.
Ainsi , en notant $u_k = \dfrac {10\:x_{2k} -3}7,\quad v_k =\dfrac {10 \:y_{2k}}{12},\:\:$ on a:
$$n \;\text{ est une solution du problème si et seulement si}\:\: \exists k \in \N \:\text{tel que}\: n = u_k.\:\:\text{ Alors}\:\: \sigma(Y_n) = v_k.$$
Or les suites $(x_{2k})$ et $(y_{2k})$ obéissent à la récurrence linéaire dont le polynôme caractéristique est $\chi_{A^2}(X) = X^2-254X+1,$ et cela entraîne, pour $(u_k)$ et $(v_k)$, les relations de récurrence que j'ai indiquées.