Le groupe de Galois du 2-ème corps de Hilbert
dans Arithmétique
Bonjours tout le monde
Soit $k$ une extension galoisienne de degré fini sur $Q$. Soit $k_p^{(2)}$ le deuxième $p$-corps de Hilbert de $k$.
Est-ce que l'extension $k_p^{(2)}/k$ est normale ?
Sinon sous quelles conditions est-elle normale ?
Soit $k$ une extension galoisienne de degré fini sur $Q$. Soit $k_p^{(2)}$ le deuxième $p$-corps de Hilbert de $k$.
Est-ce que l'extension $k_p^{(2)}/k$ est normale ?
Sinon sous quelles conditions est-elle normale ?
Réponses
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Il me semble que oui, corrige-moi s'il y a une erreur.
Il suffit de montrer que si $\sigma : k_p^{(2)} \hookrightarrow \mathbb C$ fixe $k$ alors $\sigma(k_p^{(2)}) \subset k_p^{(2)}$. Par définition, il suffit de montrer que $\sigma(k_p^{(2)})/k_p$ est abélienne (évident) et non ramifiée hors de $p$. Or si $\mathfrak P$ est un idéal premier de $\sigma(k_p^{(2)})$ étranger à $p$, il existe $\mathfrak P'$ idéal premier de $k_p^{(2)}$ tel que $\sigma(\mathfrak P') = \mathfrak P$, et $\mathfrak P'$ est étranger à $p$. Par définition de $k_p^{(2)}$, et en notant $\mathfrak p = \mathfrak P' \cap \mathcal O_{k_p}$, on sait que $\mathfrak P' \mid \mathfrak p$ a pour indice de ramification $1$. Mais alors $\mathfrak P \mid \sigma(\mathfrak p)$ a également pour indice de ramification $1$, et puisque $\sigma$ fixe $k$ et $k_p/k$ est normale, on sait que $\sigma(k_p)=k_p$, de sorte que $\sigma(\mathfrak p) = \mathfrak P \cap \mathcal O_{k_p}$. Autrement dit, on a montré que tout idéal premier de $k_p^{(2)}$ étranger à $p$ est non ramifié au-dessus de $k_p$, CQFD. -
Si $k$ est un corps de nombre et $p$ une nombre premier, d'après mes connaissances le corps $p$-corps de Hilbert c'est l'extension abélienne non ramifiée sur $k$ et degré une puissance de $p$ et se note $k_p^{(1)}$.
Le deuxième corps de Hilbert de $k$ (i.e. $k_p^{(2)}$.) est le corps de Hilbert de $k_p^{(1)}$.
Je crois que vous n'avez pas utilisé la même définition ! -
Ah, je pensais que c'était l'extension abélienne maximale non ramifiée hors de $p$.
Si je comprends bien, ton $k_p$ c'est le corps de classe associé au $p$-groupe des classes de $k$, c'est-à-dire correspondant au $p$-Sylow de $\mathcal{Cl}(k)$ ? -
Oui exactement!
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Bonjour!
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