Le groupe de Galois du 2-ème corps de Hilbert

Il me semble que oui, corrige-moi s'il y a une erreur.

Il suffit de montrer que si $\sigma : k_p^{(2)} \hookrightarrow \mathbb C$ fixe $k$ alors $\sigma(k_p^{(2)}) \subset k_p^{(2)}$. Par définition, il suffit de montrer que $\sigma(k_p^{(2)})/k_p$ est abélienne (évident) et non ramifiée hors de $p$. Or si $\mathfrak P$ est un idéal premier de $\sigma(k_p^{(2)})$ étranger à $p$, il existe $\mathfrak P'$ idéal premier de $k_p^{(2)}$ tel que $\sigma(\mathfrak P') = \mathfrak P$, et $\mathfrak P'$ est étranger à $p$. Par définition de $k_p^{(2)}$, et en notant $\mathfrak p = \mathfrak P' \cap \mathcal O_{k_p}$, on sait que $\mathfrak P' \mid \mathfrak p$ a pour indice de ramification $1$. Mais alors $\mathfrak P \mid \sigma(\mathfrak p)$ a également pour indice de ramification $1$, et puisque $\sigma$ fixe $k$ et $k_p/k$ est normale, on sait que $\sigma(k_p)=k_p$, de sorte que $\sigma(\mathfrak p) = \mathfrak P \cap \mathcal O_{k_p}$. Autrement dit, on a montré que tout idéal premier de $k_p^{(2)}$ étranger à $p$ est non ramifié au-dessus de $k_p$, CQFD.

Ah, je pensais que c'était l'extension abélienne maximale non ramifiée hors de $p$.

Si je comprends bien, ton $k_p$ c'est le corps de classe associé au $p$-groupe des classes de $k$, c'est-à-dire correspondant au $p$-Sylow de $\mathcal{Cl}(k)$ ?