Courbe elliptique et place archimédienne

MoinsUnPuissanceN
MoinsUnPuissanceN
dans Arithmétique
Bonjour à tous, je me pose la question suivante.

Soit $K$ un corps quelconque et $E \to spec(K)$ une courbe elliptique et $v \in M_K$ une place archimédienne. On sait que $\overline{K_v}$ est isomorphe à $\mathbb{C}$ (où $K_v$ est le complété de $K$ pour $v$).
On peut alors choisir un $\tau$ tel que $Im(\tau)>0$ et tel que : $$
E(\overline{K_v}) \simeq \mathbb{C} / \mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z}.
$$ Une question que je me pose est s'il existe une majoration de $Im(\tau)$ ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Une majoration en fonction de quoi ? Il te suffit de prendre un domaine fondamental de l'action de $\text{PSL}_2(\mathbb Z)$ sur le demi-plan de Poincaré pour voir que tu peux avoir des $\tau$ arbitrairement grands.
  • MoinsUnPuissanceN
    MoinsUnPuissanceN
    Au départ j'espérais pouvoir le majorer par une constante mais effectivement je peux choisir, comme tu dis, $\tau_v$ aussi grand que je veux ...

    Du coup l'idéal serait de le majorer par une fonction dépendant de ma place $v$.
  • MoinsUnPuissanceN
    MoinsUnPuissanceN
    Autre question liée :
    Puis je utiliser un faisceau ample $L$ qui me donnera un plongement $E \to P^n(K)$ pour espérer pouvoir expliciter ce $\tau_v$ ?
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