1 n'est pas premier
dans Arithmétique
J'ai une question qui oscille entre enseignement et mathématiques.
Je dois apprendre à mes élèves que $1$ n'est pas un nombre premier : la définition de "nombre premier" que je leur donne, c'est "entier positif ayant exactement deux diviseurs positifs distincts", définition qui exclut $1$ des nombres premiers.
La définition qu'ils connaissent, de l'école primaire, c'est "nombre positif qui n'est divisible que par $1$ et par lui-même" (ils ne connaissent pas encore les nombres négatifs en primaire, donc cette définition est presque synonyme de la mienne pour eux), et cette définition inclut $1$ dans les nombres premiers.
Ma question d'ordre mathématique est : pourquoi ne veut-on pas que $1$ soit premier ? Parce que $1^n=1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que, par conséquent, ça perturberait la partie "unicité" du théorème fondamental de l'arithmétique ? Ou bien il y a une autre raison ?
Je dois apprendre à mes élèves que $1$ n'est pas un nombre premier : la définition de "nombre premier" que je leur donne, c'est "entier positif ayant exactement deux diviseurs positifs distincts", définition qui exclut $1$ des nombres premiers.
La définition qu'ils connaissent, de l'école primaire, c'est "nombre positif qui n'est divisible que par $1$ et par lui-même" (ils ne connaissent pas encore les nombres négatifs en primaire, donc cette définition est presque synonyme de la mienne pour eux), et cette définition inclut $1$ dans les nombres premiers.
Ma question d'ordre mathématique est : pourquoi ne veut-on pas que $1$ soit premier ? Parce que $1^n=1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que, par conséquent, ça perturberait la partie "unicité" du théorème fondamental de l'arithmétique ? Ou bien il y a une autre raison ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$1$ est un nombre qui a un inverse multiplicatif dans $\mathbb{Z}$.
Les généralisations du théorème de factorisation de $\mathbb{Z}$ utilisent cette notion d'unité dans un anneau.
Par ailleurs, le produit infini d'Euler pour la fonction zeta ne porte que sur les entiers qui sont premiers et pas sur le nombre $1$ si je me souviens bien. J'imagine qu'on aurait aussi un vrai problème pour toutes les fonctions multiplicatives rencontrées en théorie des nombres si on se mettait à considérer que $1$ est un nombre premier.B-)-
Aussi, si c’est le cas, la définition n’a certainement pas été écrite.
Enfin, tout le monde (qui connaît les nombre premiers) sait que 1 ne l’est pas.
Je m’interroge : oui les élèves ont pu entendre « par 1 et lui-même » mais était-ce la définition ou un corollaire ?
Mon point de vue est que l’on souhaite créer (engendrer) les nombres entiers avec des $\times$ seulement et le moins de générateurs possibles. Ha oui mais $1$ je l’enlève car c’est le neutre (argument qui n’en est pas un, bah oui), c’est comme ça.
Remarque : pour créer des entiers avec $+$ on n’a besoin que de $1$ mais on ne prend pas $0$ (c’est le neutre...).
Je veux leur donner une bonne raison pourquoi $1$ ne doit pas être premier, qu'ils puissent comprendre.
En plus, tel que tu l'as dit, c'est faux. $1$ et $-1$ sont des entiers qui n'ont que deux diviseurs distincts, pourtant aucun des deux ne doit être premier. C'est pour ça que j'ai rajouté "positif" partout.
PS:
Pourquoi justifier une définition en mathématiques?
(je pensais à la définition d'un espace topologique compact par exemple)
Après je ne suis pas sûr que ces raisons puissent être expliquées à tes élèves...
J'ai lu le document en diagonale. J'aime bien la preuve de l'infinité des nombres premiers. "le nombre $1+ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot... \cdot N$ est divisible par aucun nombre premier sauf $1$, donc il est premier. Je trouve que ça montre bien "autant retirer ce maudit $1$" :-D
Dans les premiers temps des mathématiques (disons comme référence Euclide), 1 ne peut pas être un nombre premier, car ce n'est pas un nombre, c'est l'unité. La définition d'Euclide perdure pendant plus de 2000 ans, les premiers sont 2, 3 ,5, ... mais pas 1.
Avec le déclin de l'importance des travaux d'Euclide au dix-neuvième siècle, certains auteurs ont voulu prendre comme définition le mal écrit "divisible seulement par 1 et lui-même" qui sous-entendait en fait que le nombre n'était pas 1.
Pour expliquer à des collégiens qu'on ne considère pas 1 comme l'un des nombres premiers, on peut s'appuyer sur l'unicité de la décomposition en facteurs premiers : Sans le 1, 24 = 23x3; avec : 24= 1x23x3 = 1²x23x3= 13x23x3 = ... Et leur dire qu'à des niveaux plus élaborés de mathématiques, c'est très utile. On peut aussi leur faire remarquer que pour écrire les nombres autres que 1 multiplicativement, on n'a jamais besoin du 1 et qu'on a l'habitude de ne pas laisser les multiplications par 1 : On écrit (12-11)x7 = 7 pas =1x7 ni 1x1x7.
Cordialement.
On pourrait être plus pompeux et dire « le cardinal de l’ensemble de ses diviseurs entiers naturels est $2$ ».
Un truc qui marche (qui marque ?) avec les petits : « un nombre est premier s’il n’est que dans deux tables ».
J’ai fait exprès de laisser des implicites. Ça pose tout de même la question du $1$.
En fait, quelle que soit la définition on en trouvera toujours un qui, par une attente de confirmation ou pour être rassuré demandera « et pour $1$ alors ? ».
Et même en lui disant de relire, « ha donc $1$ n’est pas premier, c’est ça ? ».
Etc.
C'est la définition qu'ils connaissent.
On a cette conjonction de coordination ET qui est un peu ambigue. Mais dans la langue française, ce mot ET sous-entend très souvent que les 2 éléments reliés sont distincts.
Quelques exemples :
Je suis devant un magasin de voitures : j'aime la bleue et la Peugeot : sous-entendu : la bleue n'est pas la Peugeot.
Le prof et le maire sont venus ... sous entendu : le prof n'est pas le maire.
Le document a été signé par le vendeur et par le notaire, sous entendu ...
Donc la formulation 'divisible par 1 et par lui-même', ça sous-entend que 1 et lui-même sont 2 nombres différents.
Mais je sais que et/ou posent problème. Je t'en donne encore une : les élèves voient le ventre de la prof de maths grossir depuis un moment. Finalement, l'un des élèves ose demander à la prof de maths : "c'est un garçon ou une fille ?". Elle répond : "oui".
Tu dis « qu’ils connaissent ». N’est-ce pas plutôt « qu’ils ont retenu » ?
Sans tomber dans la facilité « ils ne connaissent rien », je pense qu’ils essayent de retrouver un truc connu et qu’ils le balancent. Mais ils ne connaissent pas beaucoup de définition, de mon point de vue.
[Oups, cher AD, c’était « la définition qu’ils connaissent » puis « la définition qu’ils ont retenue », non ?]
Heureusement qu'avant d'apprendre à compter, on ne demande pas aux élèves du CP de justifier l'existence de N.
(inférieurs ou égaux à sa racine carrée). Or on ne fait pas le test avec 1, qui divise toujours.
Si ils demandent pourquoi 1 n'est pas premier, vous répondez que si on supprime tous les entiers naturels avec le crible d'Ératosthène il ne va pas rester grand chose.
[Pourquoi accordes-tu une majuscule à "crible" que tu refuses à Ératosthène (environ -276, -194). AD]
2 alternatives encore :
- En espagnol : https://images.math.cnrs.fr/Por-que-el-primer-numero-no-es-un-numero-primo.html
- Avec Goldbach : Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Donc pour lui, 1 n’est pas premier puisque 1+1= 2 (pourtant pair et premier !).
C’est aussi tout l’intérêt de réfléchir sur « l’unité ».
- « Si ils demandent pourquoi 1 n'est pas premier, vous répondez que si on supprime tous les entiers naturels avec le crible d'Ératosthène il ne va pas rester grand-chose » dit Fly7 ; tout et rien ensemble donc (paradoxe pair et premier aussi par exemple).
- Comme l’observateur a besoin de compter, en imposant un ordre et un attribut sur « 1 » (ce qui pose la question de sa prééminence de façon plus générale), il fait émerger paradoxalement et simultanément son propre reflet, le désordre ici (voire le chaos).
Supposons l'idée de 1 qui serait un nombre premier , le produit de deux nombres premiers ne peut être un nombre premier , alors avec 1 premier il n'en existe aucun , pas même 1 !
1*1 = 1 = produit
1*3 = 3 = produit ...etc etc.
1, n'apporte aucun renseignement sur la primalité d'un nombre > 1, ni sur le produit d'un nombre
1 est vide de facteurs....
Pour une fois, je suis d'accord avec LEG. Il aurait dû cosigner l'article The Effects of Peanut Butter on the Rotation of the Earth.
https://drive.google.com/file/d/1nv0kn37EI77gflFWoFUKo7t4BbSSb26j/view
Ce que je veux dire est très précis : la conjecture de Goldbach n'a rien à dire sur le fait évident que les nombres pairs ne sont pas premiers (sauf $2$).
http://www.bevernage.com/humour/tomatotopic.htm
- « (qui connaît les nombres premiers) sait que 1 ne l’est pas. » - Dom
Or
- « pour créer des entiers avec + on n’a besoin que de 1 » - Dom
Je suis d’accord ; donc 1, premier nombre, ne serait pas premier.
Pourtant, tout va bien, pas d’apoplexie, c’est un fait : "1" est là, mais pas dans les clous.
Je donne mon point de vue sur l'unité (au sens premier du terme), je la stigmatise :-D sur des cribles, j'en donne une interprétation.piquante.
Plutôt que d'aboyer, montrez l'erreur, donnez du sens ! La contradiction permet d'évoluer.
Que proposez-vous alors sur ces questions qui me semblent liées, comme je l'ai souligné ?
- "L'élimination du nombre 1 n'est qu'une commodité de mathématiciens; une convention" (Villemin). Pourquoi cette énigme ?
- "Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers" (Wikipédia). Pourquoi cette énigme ?
Il y a UNE définition de la notion de nombre premier, adoptée par la communauté mathématique, c'est tout.
1 ne la vérifie pas, et alors ?
Après, on peut s'amuser à faire de la pseudo-philosophie dessus, ce n'est pas faire des mathématiques.
Cordialement,
Rescassol
"1 ne la vérifie pas". Je pense pourtant que c'est l'ordre que nous imposons de facto aux nombres (concepts) qui sont la cause de l'exclusion.
Je n'ai pas connaissance qu'on s'intéresse à la place de l'observateur en mathématique ; par exemple aussi concernant l'hypothèse de Riemann entre arithmétique et géométrie, entre discret et continu.
Ici, le paradoxe sur le nombre 1 signe aussi l'ensemble : premiers - composés
Personne n'impose ou n'exclut quoi que ce soit, il y a juste une "bête" définition.
1 possède un seul diviseur entier positif, pas deux, c'est comme ça.
Aucun observateur n'a quoi que ce soit à voir avec l'histoire.
Il n'y a pas de paradoxe, mathématique en tous cas, le point de vue pseudo-philosophique ne m'intéresse pas.
Cordialement,
Rescassol
Serait-ce essentiellement philosophique de dire cela, si ce n'était la réalité, l’histoire ?
Le nombre $\pi$ est une information arithmétique de l’ordre du langage qui s'adresse donc à nous : « passer la limite, c’est changer de concept », ce qu'on constate avec Riemann.
Nous voilà avec un ratio physico-mathématique omniprésent, intrinsèque à l’observateur, à sa raison pour appréhender son environnement et construire ses outils.
Quelle rencontre virtuelle-réelle, entre l’information portée par cette constante et sa réception par l’observateur ! Quand j’ouvre les yeux, je vois des dimensions !
$\Pi$ est un paradoxe : par un point infinies symétries, plus grande superficie pour plus petite circonférence, plus grand volume pour plus petite surface ... qui, entre autres, ancre le monde et ses mathématiques, les mathématiques et son monde.
L’observateur serait ainsi à la surface d’un paradoxe où il est à la fois dépendant et acteur, comme dans l’espace-temps par exemple. D’où, à mon sens, une piste de réflexion sur les nombres premiers qui n’est qu’une argutie dans l’immensité de nos divagations spéculatives.
J’espère de la tolérance si cela était opaque.
Perso, je ne comprends rien à ce jugement, d'autant que j'ai mis au moins deux heures pour construire ce commentaire.
Où c'est toi et certains autres qui sont à côté de la plaque où c'est moi.
J'en ai assez d'être insulté. Pros, vous êtes minables à détester ainsi les gens.
Je demande à AD et le remercie de mes désinscrire du Forum, tant il m'angoisse et me désespère.
[Vœu exaucé. Poirot]
Bigre.
Bon, mais Rescassol disait qu’on avait une définition posée, aujourd’hui en 2020.
Elle est acceptée.
On a le droit de dire « c’est pas normal ! ».
C’est comme la loi : il existe des lois qu’il faudrait changer. Mais en attendant elles sont là.
Bon c’est tout en fait.
Quel est l’aspect du débat que je n’ai pas compris ? Ou que j’aurais oublié ?
A la base, je demandais juste quels arguments pertinents, qu'un jeune collégien puisse comprendre, nous avons pour justifier qu'il faut que $1$ ne soit pas un nombre premier.
Pour un anneau $A$ principal (de $A$ à $\Z$ il n'y a qu'un pas), on a en plus l'équivalence $a$ premier SSI $A/(a)$ est un corps ; or dans un corps, on exige $0\ne1$.
avec les atomes (ou peut-être les couleurs primaires) en les combinant on peut obtenir (ou pas...) des molécules,
les nombres premiers étant les atomes de tous les nombres entiers naturels (X:-(), 1 ne permet pas d'en créer un nouveau.
Bon comme toutes les analogies, ça vaut ce que ça vaut, je me suis dit que tu cherchais peut-être une accroche de vulgarisation plutôt qu'une preuve.
Cordialement
Avec le $p\ge2$ et le "exactement" plus besoin d'utiliser le terme "distincts" et de plus cela permet d'office d'éliminer les entiers $0$ et $1$.
C’est bien parce que c’est une définition simple et c’est celle à donner à la fois en 6e et en M2.
Pourquoi chercher à changer ce qui est simple ?