1 n'est pas premier
Réponses
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Bonjour,
Allez ! Une autre:
$p$ est premier si et seulement si $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.
Bon, c'est sûr que pour des collégiens .............
Bon 1ier avril :-D
Cordialement,
Rescassol -
Les étudiants de M2 qui entendent parler de pgcd connaissent, j'espère, un deuxième anneau dans lequel faire de l'arithmétique. Voilà pourquoi on veut changer.
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Haha Math Coss, amusant.
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La définition traditionnelle d'un nombre premier est qu'il n'est divisible que par 1 et lui-même. Seuls les nombres entiers sont bien sûr concernés. Cette définition exclut le nombre 1. En effet, celui-ci est divisible par 1 ou lui-même. On ne confondra pas ici la conjonction "et" avec son homologue "ou" !
Les nombres premiers (2, 3, 5, 7, etc.) sont mal nommés, puisqu'ils ont deux diviseurs dont l'un permet de les fractionner. Ils devraient être rebaptisés en "nombres deuxièmes" ! Le seul véritable nombre premier est le nombre 1, puisqu'il n'a qu'un seul diviseur ne permettant pas de le fractionner.
Le nombre 1 n'a donc qu'un diviseur. Les nombres dits premiers en ont deux. D'autres nombres en ont trois, quatre, cinq, etc. Le nombre 0 et le nombre infini (discuté) ont une infinité de diviseurs. -
Le « nombre infini » n'est pas un nombre entier.
L'adjectif « premier » ne rapporte pas à une quantité, un nombre d'objets (comme le nombre de diviseurs) mais à un ordre : ce sont les éléments premiers à partir desquels on construit les autres. Les nombres premiers auraient pu s'appeler « atomes », on les appelle souvent « irréductibles », mais vraiment la qualification « deuxièmes » est un peu farfelue.
Je n'ai pas peur de la contradiction, même quand elle vient de moi. Sur la figure ci-dessous, qui est le « diagramme de Hasse » de l'ordre de divisibilité sur les entiers, on voit que $1$ est bien premier au classement, suivi par une infinité de deuxièmes non comparables entre eux. Tiens, la dénomination n'est peut-être pas si farfelue ?
Notons toutefois que parmi les nombres troisièmes, $4$ a trois diviseurs quand $6$ en a quatre. -
Math Coss ne me contredit pas sur le fond, à savoir que les définitions "traditionnelle" et "nouvelle" des nombres premiers excluent le nombre 1 comme nombre premier. Les nombres dits premiers sont divisibles par 1 et eux-mêmes (deux diviseurs), le nombre 1 par 1 ou lui-même (un seul diviseur).
S'agissant de la question de savoir si le "nombre infini" est entier ou non, je ne suis pas de l'avis de Math Coss. Pour moi, c'est un nombre entier (avec des particularités). Mais je ne vais pas en discuter ici, ce sujet étant essentiellement pédagogique : un problème de définition. Je pense ouvrir un autre sujet sur l'infini, considéré ou non comme un nombre. Pas la peine de surcharger et détourner ce sujet ! 8-) -
Attention à la mauvaise utilisation des connecteurs "et" et "ou" ici. Il est vrai qu'un nombre premier est divisible par $1$ ou lui-même, c'est même vrai de n'importe quel entier. Il est aussi vrai de n'importe quel entier qu'il est divisible par $1$ et lui-même.
En ce qui concerne le "nombre infini" j'ai hâte de voir ce que ça va donner. :-D -
Un nombre premier n'est pas divisible par 1 ou lui-même, ce qui supposerait que l'un ou l'autre est superflu. Il est divisible par 1 et lui-même, ce qui suppose que les deux sont nécessaires. De plus, il n'est divisible que par ces deux nombres, selon la définition traditionnelle.
Cela exclut tous les nombres admettant d'autres diviseurs. Mais cela exclut aussi le nombre 1, que l'on pourrait caractériser comme n'étant divisible que par 1, sans faire intervenir lui-même (superflu comme il est identique) ; ou n'étant divisible que par lui-même, sans faire intervenir 1 (pour la même raison). De manière plus simple, le nombre 1 n'a qu'un diviseur et les nombres dits premiers n'en ont que deux.
Entre nous, ce que je dis est peu contestable, relève seulement du bon français. Ne me contredisez pas uniquement pour le plaisir ! ;-) -
Bonjour,
Il se trouve qu'on a toujours $A \cap B \subset A \cup B$, donc le "et" entraîne le "ou".
En mathématiques, le "ou" est inclusif.
Cordialement,
Rescassol -
Je ne fais pas ici des opérations mathématiques. J’utilise seulement la langue française, sa logique en tout cas. De ce point de vue, une définition des "nombres premiers" incluant 1 ne serait pas cohérente pour les raisons indiquées. Il vaut donc mieux s'en abstenir. Je signale en passant que les nombres premiers n'ont jamais été définis avec des symboles mathématiques. On ne gagne rien en confondant le français et les mathématiques : chacun son domaine ! ;-)
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Bonjour;
> On ne gagne rien en confondant le français et les mathématiques : chacun son domaine
D'accord, c'est pour ça que je ne parle que mathématiques.
Ça n'empêche pas de savoir qu'en mathématiques, le "ou" est inclusif, alors que dans le langage courant, il est généralement exclusif, comme dans l'expression "fromage ou dessert".
Un nombre premier a deux diviseurs, 1 et lui-même, c'est la définition, mais il est aussi divisible par 1 ou lui-même, c'est une conséquence.
Bon, ça ne mérite pas d'en dire plus, j'en resterai là.
Cordialement,
Rescassol -
Un nombre premier (pour moi deuxième) peut en effet être divisé par 1 ou lui-même, dans le sens indiqué par Rescassol. Seulement, 1 et lui-même doivent être mentionnés dans la définition du nombre premier. Ils sont tous les deux nécessaires (deux diviseurs). C'est pour cela que la conjonction "et" est préférable à "ou", avec son sens en français.
Le nombre 1 (pour moi premier) est aussi divisible par 1 ou lui-même. Mais comme 1 et lui-même sont identiques, on peut alors mentionner seulement l'un ou l'autre (un seul diviseur) dans la définition du nombre 1.
Voilà, je pense que la question est claire. On ne peut pas mettre dans la même catégorie 1 d'un côté, 2, 3, 5, 7, etc. de l'autre ! ;-) -
La question était claire depuis longtemps, c'est toi qui as rouvert un vieux sujet clos.
Personne ici n'a douté de la définition de nombre premier : c'est un nombre qui a exactement deux diviseurs, point barre. Avec ça, on ne s'embrouille pas sur les ou exclusifs/inclusifs ni rien, c'est bien précis et puis c'est tout. Et ça exclut $1$. La question était : pourquoi ne veut-on pas que $1$ soit premier ? Et tu n'as rien apporté sur cette question. -
D'abord, il n'est pas interdit de reprendre un vieux sujet s'il a été mal traité !
Ensuite, tu ne m'as pas bien lu ! Selon la définition traditionnelle, un nombre premier n'a que 1 et lui-même comme diviseurs (deux diviseurs). Le nombre 1 a par contre 1 ou lui-même comme diviseur (un seul diviseur). La distinction entre les deux conjonctions (et, ou) est ici fondamentale, comme déjà expliqué ! Je contredis ici ce que disait le créateur du sujet (voir le premier message), à savoir que la divisibilité exclusive d'un nombre par 1 et lui-même implique que le nombre 1 soit premier. Cette définition exclut au contraire le nombre 1 !
Pour répondre à ta question, pourquoi ne veut-on pas que 1 soit premier ? Tout simplement parce que cela aboutirait à une définition incohérente des nombres premiers, pour les raisons déjà indiquées !
Cela m'amène à une autre question. Pourquoi veux-tu que les définitions soient incohérentes ? Est-ce qu'il ne vaut pas mieux des définitions cohérentes ?
Avant de commenter des messages, faites donc le petit effort de bien les lire. Cela conduit sinon à des redites perpétuelles, ce qui est un peu lassant... ;-) -
Je vais faire l'effort de te répondre.
Le sujet n'a pas été "mal traité" du tout. On a trouvé des réponses à la question que je posais initialement, et des réponses bien plus claires que la tienne.
La "définition traditionnelle" porte à confusion, justement à cause de l'usage des conjonctions que tout le monde ne comprend pas de la même manière. La définition sur laquelle tout le monde sauf toi est d'accord, à savoir "exactement deux diviseurs positifs distincts", ne permet aucune confusion pour qui que ce soit et est donc meilleure. Pas besoin de débattre pendant longtemps sur la signification d'un "et", d'un "ou"... c'est clair, net et précis, même pour un collégien.
Pour ce qui est de me dire que je n'ai pas "bien lu", tu es quand même gonflé. Tu me parles de ce que disait "le créateur du sujet", sauf que le créateur du sujet, ben, c'est moi. Et ce que tu ne sembles pas vouloir comprendre, c'est, je le répète, que les conjonctions ne veulent pas dire la même chose pour tout le monde. Il y a des gens qui lisent "divisible par $1$ et par lui-même", puis regardent le nombre $1$ et testent deux conditions : d'abord, est-ce que $1$ est divisible par $1$ - oui, ensuite est-ce qu'il est divisible par lui-même - oui, donc ils pensent que $1$ est premier. D'où l'intérêt d'avoir une définition précise où il n'y a pas de confusions possibles.
A aucun moment je n'ai dit que je voulais des définitions incohérentes, là tu délires.
Le seul qui fait de la redite, ici, c'est toi. On était à peu près tous d'accord entre nous avant que tu rouvres ce fil, puis tout le monde était en désaccord avec toi... j'dis ça, j'dis rien ! -
Si c'est toi le créateur du sujet, je ne te félicite pas ! Fais d'abord l'effort de te relire...
Sinon, il ne faut quand même pas être de mauvaise foi ! Cela finit par devenir agaçant. Dans tous mes messages de ce sujet, je dis que les nombres premiers impliquent deux diviseurs distincts et seulement deux ! J'ai seulement rajouté qu'il faut bien faire la différence entre les deux conjonctions (et, ou). Tu ne fais manifestement pas cette différence, et tu as donc encore des progrès à faire en français. Personne n'est parfait !
Lorsque tu dis qu'un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même (ton premier message), cela implique en bon français que les deux sont nécessaires. Ce n'est manifestement pas le cas du nombre 1, divisible par 1 ou lui-même. On pourrait aussi dire qu'il n'est divisible que par 1, ou qu'il n'est divisible que par lui-même. L'un ou l'autre suffit ! Il peut y avoir une ambigüité dans le langage courant, mais pas dans une définition formelle telle qu'elle existe en mathématiques.
On va continuer encore longtemps ? Vite, envoie ta réponse, très longue de préférence ! Je commence à m'amuser... B-) -
On pourrait dire simplement
Un nombre premier a exactement deux diviseurs (positifs, sinon...) -
C'est ce que je dis. Mais j'ai aussi voulu considérer la définition traditionnelle des nombres premiers (voir le premier message) pour signaler qu'elle excluait le nombre 1. ;-)
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Spalding : pour qui tu te prends, au juste ?
Même en relisant mes propres messages, à ton irrespectueuse demande, je ne vois aucun endroit ou je dis que je veux des définitions contradictoires. Mon français va très bien, contrairement à ton sens du respect. Tu ne postes pratiquement jamais sur le forum, tu rouvres des vieux fils qui n'ont pas besoin d'être rouverts pour y raconter des choses qui vont de l'inutile au hors-sujet, mais c'est moi le problème ?
Vu le temps que je passe sur le forum, vu le nombre de messages que j'écris, si j'étais perçu comme un problème ici, on me l'aurait déjà fait savoir.
Je vais peut-être simplement demander la fermeture du fil. -
Vu les réponses qui m'ont été faites, ce sujet avait encore besoin d'être traité ! Sinon, il est possible que nous soyons énervés tous les deux. Je ne vais pas répéter mes arguments déjà exposés. Je n'ai sinon aucune objection à ce que ce sujet soit fermé !
Je signale par ailleurs que j'ai posté un long message dans "0 divise 0 ?", un sujet autrement plus intéressant. Il n'a encore eu aucune réponse, mais je ne peux forcer personne ! ;-) -
Par définition, un nombre premier un entier naturel non nul qui admet exactement deux diviseurs distincts, $1$ et lui-même.
Je pense pour ma part que cette définition est suffisante pour éliminer le nombre $1$ de la liste des nombres premiers.
Aussi, il y a d'autres raisons déjà évoquées par mes prédécesseurs dont notamment l'unicité de la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers.
J'ai aussi lu quelque part que c'est une convention, à ce titre que dire de plus.
$0 ! = 1$, encore une autre convention ! -
Bonjour
Dire que le chiffre "1" n'est pas premier est une convention qui n'est pas intelligente
elle trahit la simplicité des définitions arithmétiques en introduisant des exceptions arbitraires ;
c'est comme si on décrétait que le chiffre "1" n'était pas impair ;
ce genre de convention perturbe les élèves, mais nous enseignants nous sommes obligés de la respecter.
Cordialement -
Bonjour,Jean Lismonde a écrit:Dire que le chiffre "1" n'est pas premier
Ceci n'a aucun sens. La notion de premier s'applique aux nombres entiers, pas aux chiffres qui sont des symboles.
D'autre part, il n'y a aucun intérêt à ressortir ce marronnier qui a été maintes fois élagué.
Cordialement,
Rescassol -
Une ultime fois :
a) $1$ n’engendre rien de plus que lui-même avec la multiplication.
Ha ben mince alors.
b) pour l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, on la perd avec le nombre $1$.
Ha ben mince alors.
C’est simple et limpide. -
Si on voit les nombres premiers comme les briques élémentaires qui multipliées entre elles permette d’obtenir n’importe quel nombre, 1 n’est pas une brique intéressante car elle ne permet pas de créer de nouveaux nombres par multiplication.
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Bonjour,
je n'ose imaginer ce que serait le crible d'Eratossthène si on commençait par p = 1 au lieu de p=2.
Bien cordialement.
kolotoko -
jean lismonde a écrit:Dire que le chiffre "1" n'est pas premier est une convention qui n'est pas intelligente
Venant de quelqu'un qui dit que la fonction cosinus tend vers $0$ en l'infini c'est assez cocasse. -
Bonjour
- On n'a jamais tort dans les définitions. Car elles relèvent de l'axiome.
- Je m'amuse de voir les 3 sortes de vidéo de vulgarisation :
- celles qui prennent la bonne définition et arrivent à la bonne conclusion.
- celles qui prennent la mauvaise définition et n'arrivent pas à la conclusion car le raisonnement est cohérent.
- celles qui prennent la mauvaise définition et arrivent à la bonne conclusion car le raisonnement elliptique est foireux, vidéo qui sera diffusée sur France2, naturellement.
- Pour expliquer à des collégiens, je parlerais de déconstruction. Si on déconstruit un entier au sens de l'addition, on tombe sur une brique élémentaire: le 1. Car 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, etc. On peut refabriquer tous les entiers à partir de 1.
Si on déconstruit un entier au sens de la multiplication, 30=6x5 et 6=2x3 donc 30=5x3x2. Si on inclut le 1 dans l'ensemble des nombres premiers, 30=5x3x2x1x1x1x1x1x1x1... Processus sans fin. Donc on exclut le 1 de l'ensemble pour éviter d'avoir sans cesse à faire un cas particulier pour le 1, dans les démonstrations.
D'ailleurs, de la même façon, je propose de retirer le 0 des calculs pour pouvoir toujours diviser. :-D
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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