Suite et divisibilité
dans Arithmétique
Je cherche un contre-exemple (avec une expression simple) à l'affirmation suivante :
u0, u1, u2, u3, u4, u5, sont divisibles par 6, donc un est divisible par 6 pour tout entier n.
Comme cet exemple est à destination d'élèves de terminale, j'aimerais si possible que un soit une suite d'entiers définie avec une formule explicite en utilisant uniquement les opérations de bases et les puissances.
u0, u1, u2, u3, u4, u5, sont divisibles par 6, donc un est divisible par 6 pour tout entier n.
Comme cet exemple est à destination d'élèves de terminale, j'aimerais si possible que un soit une suite d'entiers définie avec une formule explicite en utilisant uniquement les opérations de bases et les puissances.
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Réponses
Sinon, $u_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720}$ doit convenir.
Ça ne me regarde pas mais je ne comprends pas l’idée d’une telle recherche.
L’assertion est fausse en choisissant les termes que l’on souhaite, non ?
Méfiance avec cette idée « d’expression ».
Ensuite on peut toujours trouver des polynômes qui font ce que l’on veut sur $n$ points, etc.
@Dom : On ne peux pas prendre d'expression polynomiale qui fait ce qu'elle veut avec n point, car justement l'assertion est vraie si la suite s'écrit comme un polynôme à coefficient rationnel ne prenant que des valeurs entières pour les entiers. Cela se démontre avec les congruences.
Je sais aussi que l'on peut choisir les termes d'une suite exactement comme on le souhaite, mais ce n'est pas le but de ma question. Je cherche bel est bien une forme explicite n'utilisant que les opérations de bases et la puissance (cette dernière étant nécessaire au vu de ma remarque précédente).
P(0)=6
P(1)=6
P(2)=6
P(3)=6
P(4)=6
P(5)=6
P(6)=1
Non ?
Évidemment le degré sera six ou plus dans mon esprit.
GeoGebra saura trouver son expression explicite.
Merci pour vos réponses en tout cas.
[Pour $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. AD]