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Suite et divisibilité

blasselleblasselle
dans Arithmétique
Je cherche un contre-exemple (avec une expression simple) à l'affirmation suivante :
u0, u1, u2, u3, u4, u5, sont divisibles par 6, donc un est divisible par 6 pour tout entier n.

Comme cet exemple est à destination d'élèves de terminale, j'aimerais si possible que un soit une suite d'entiers définie avec une formule explicite en utilisant uniquement les opérations de bases et les puissances.

Réponses

  • bisambisam
    Est-ce volontaire d'avoir oublié u_3 ?

    Sinon, $u_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720}$ doit convenir.
  • DomDom
    Bonsoir,

    Ça ne me regarde pas mais je ne comprends pas l’idée d’une telle recherche.
    L’assertion est fausse en choisissant les termes que l’on souhaite, non ?

    Méfiance avec cette idée « d’expression ».

    Ensuite on peut toujours trouver des polynômes qui font ce que l’on veut sur $n$ points, etc.
  • blasselleblasselle
    Non l'oublie de u3 n'était pas volontaire de même que l'oublie de dire que je souhaite une suite d'entiers relatifs comme contre-exemple.

    @Dom : On ne peux pas prendre d'expression polynomiale qui fait ce qu'elle veut avec n point, car justement l'assertion est vraie si la suite s'écrit comme un polynôme à coefficient rationnel ne prenant que des valeurs entières pour les entiers. Cela se démontre avec les congruences.
    Je sais aussi que l'on peut choisir les termes d'une suite exactement comme on le souhaite, mais ce n'est pas le but de ma question. Je cherche bel est bien une forme explicite n'utilisant que les opérations de bases et la puissance (cette dernière étant nécessaire au vu de ma remarque précédente).
  • DomDom
    Il existe bien un polynôme P tel que :
    P(0)=6
    P(1)=6
    P(2)=6
    P(3)=6
    P(4)=6
    P(5)=6
    P(6)=1

    Non ?
    Évidemment le degré sera six ou plus dans mon esprit.

    GeoGebra saura trouver son expression explicite.
  • Math CossMath Coss
    In : 
    def L(a,i):
    return prod((x-a[k])/(a[ i]-a[k]) for k in range(len(a)) if k!=i)

def P(a,b):
    return add(b[ i]*L(a,i) for i in range(len(a)))

p = P(range(7),6*[6]+[1])
print expand(p)
print [p(k) for k in range(7)]
    Out : 
    -1/144*x^6 + 5/48*x^5 - 85/144*x^4 + 25/16*x^3 - 137/72*x^2 + 5/6*x + 6
[6, 6, 6, 6, 6, 6, 1]
  • blasselleblasselle
    Ce polynôme prend en effet des valeurs entières pour tous les entiers, je me suis avancés trop vite en affirmant que cela ne serait pas le cas (il y a en effet un problème avec les divisions qui fausse mon raisonnement sur les congruences). Au final seuls les polynômes de $\Z[X]$ vérifient cette propriété que si les valeurs des 6 premiers termes sont divisibles par 6, alors toutes les valeurs du polynôme sont divisibles par 6. De même on a aussi pour tout entier $a$ et $n$ strictement positifs : $a^n \equiv a^n+6$.
    Merci pour vos réponses en tout cas.

    [Pour $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. AD]
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