Réindexation d'entiers

Bonjour,
Soit $N = N_1 N_2$ des entiers naturels avec $N_1$ et $ N_2$ premiers entre eux.
On cherche à montrer que pour tout $n \in \{ 0 , \ldots , N-1 \}$, il existe une unique décomposition de la forme :
$n = n_1 N_2 + n_2 N_1$ modulo $N$.

Par le théorème des restes chinois on sait que $n$ est déterminé par ses restes modulo $N_1$ et $N_2$. On sait aussi qu'il existe des uniques inverses modulaires $N_2^{-1}$ (resp. $N_1^{-1}$) modulo $N_1$ (resp. $N_2$), et ainsi construire la dite décomposition.
Qu'en pensez-vous ? Je ne suis pas satisfait de cette solution, si c'en est une. J'ai l'impression qu'on peut faire plus élémentaire.