Résolution en nombres naturels
dans Arithmétique
Salut tout le monde, j'essaye de résoudre cette inéquation en $k$
$k(\log k +\log \log k-\alpha+O(\frac{\log \log k}{\log k}))\geq x$,
pour obtenir $\ k\geq \dfrac{x}{\log x}\Big(1+\dfrac{\alpha+o(1)}{\log x}\Big),\ $ sachant seulement que $k\leq x$ ?
Cela est-il possible ?
$k(\log k +\log \log k-\alpha+O(\frac{\log \log k}{\log k}))\geq x$,
pour obtenir $\ k\geq \dfrac{x}{\log x}\Big(1+\dfrac{\alpha+o(1)}{\log x}\Big),\ $ sachant seulement que $k\leq x$ ?
Cela est-il possible ?
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Réponses
Ces équations ou inéquations transcendantes sont délicates à manipuler, et il faut souvent faire des concessions. Là, tu demandes une précision assez grande, pas facile à obtenir.
Simplifions, en prenant par exemple la majoration $p_k < 2k \log k$ vraie pour tout $k \geqslant 3$ : on se ramène alors à résoudre l'inéquation $k \log k \geqslant \frac{1}{2} x$. Si $k_0(x) > 1$ est la solution de l'équation $k \log k = \frac{1}{2} x$, alors les solutions de l'inéquations sont données par $k \geqslant k_0(x)$. Or il est connu que, pour $x > 2e$
$$\frac{x}{2\log (x/2)} < k_0(x) < (1+e^{-1}) \frac{x}{2\log (x/2)}$$
donc $k \log k \geqslant \frac{1}{2} x \Longrightarrow k > \frac{x}{2\log (x/2)}$.
'Or ...''
F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, Academic Press, Inc, 1974, Theorem 5.1 page 13.