Les incontournables en arithmétique
dans Arithmétique
Bonjour,
je suis en train de me constituer une petite liste de résultats incontournables en arithmétique. Pouvez-vous m'aider l'étoffer ? J'écris les énoncés sans être rigoureux, l'idée est surtout d'arriver à lister les résultats "essentiels".
0) La division euclidienne
0 bis) Le théorème fondamental
1) Le théorème de Bezout
2) Le lemme de Gauss
3) Le lemme d'Euclide : $p\mid ab$ $\iff$ $p\mid a$ ou $p\mid b$
4) Le lemme "d'implication pgcd/ppcm" :
$(a\mid c)$ et $(b\mid c)$ $\Rightarrow$ $ppcm(a,b)\mid c$
$(c\mid a)$ et $(c\mid b)$ $\Rightarrow$ $c\mid pgcd(a,b)$
5) Le lemme "d'équivalence" :
$pgcd(a,b)>1\iff\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b$
Et donc : $pgcd(a,b)=1\iff\not\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b\iff\forall p\in\mathcal{P}\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b$
Est-ce que vous en voyez d'autres que je devrais faire figurer ?
D'avance merci de votre aide
je suis en train de me constituer une petite liste de résultats incontournables en arithmétique. Pouvez-vous m'aider l'étoffer ? J'écris les énoncés sans être rigoureux, l'idée est surtout d'arriver à lister les résultats "essentiels".
0) La division euclidienne
0 bis) Le théorème fondamental
1) Le théorème de Bezout
2) Le lemme de Gauss
3) Le lemme d'Euclide : $p\mid ab$ $\iff$ $p\mid a$ ou $p\mid b$
4) Le lemme "d'implication pgcd/ppcm" :
$(a\mid c)$ et $(b\mid c)$ $\Rightarrow$ $ppcm(a,b)\mid c$
$(c\mid a)$ et $(c\mid b)$ $\Rightarrow$ $c\mid pgcd(a,b)$
5) Le lemme "d'équivalence" :
$pgcd(a,b)>1\iff\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b$
Et donc : $pgcd(a,b)=1\iff\not\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b\iff\forall p\in\mathcal{P}\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b$
Est-ce que vous en voyez d'autres que je devrais faire figurer ?
D'avance merci de votre aide
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Réponses
Le théorème fondamental de l'arithmétique semble avoir sa place, rien que pour son nom.
Résultat moins utile mais pas compliqué et ça peut servir : le théorème de Wilson : $n \mid (n-1)!+1 \iff n$ est premier.
(mais on est plus trop dans le fondamental là)
Oui, je le mets en tête de liste !
[Inutile de recopier le message précédent. AD]
Il y a une erreur ?
Il me semble que tu as inversé $\exists$ et $\not \exists$.
Merci ! C'est corrigé !
Une façon plus jolie d'écrire ton point n°5 dans le cas $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$:
$\mathrm{pgcd}(a,b)=1 \iff \forall p \in \mathcal{P}, p \nmid a$ ou $p \nmid b$.
J'arrive à comprendre que ces deux propositions sont "contraires" :
$\left \{
\begin{array}{rcl}
pgcd(a,b)>1\iff\exists p\in\mathcal{P},\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b&\\
pgcd(a,b)=1\iff\forall p\in\mathcal{P},\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b&
\end{array}
\right.$
Mais je n'arrive pas à voir pourquoi ces deux propositions sont équivalentes :
$\left \{
\begin{array}{rcl}
pgcd(a,b)=1\iff\not\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b\\
pgcd(a,b)=1\iff\forall p\in\mathcal{P},\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b&
\end{array}
\right.$
?
Mais pourquoi :
$\forall p\in\mathcal{P},\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b\iff\not\exists p\in\mathcal{P}\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b$
Je crois que, ce qui me perturbe, c'est le $\forall$ et le $\not\exists$ au début de la proposition. Cette amorce me laisse penser que les deux propositions vont être inverses l'une de l'autre.
Est-ce que la logique qu'il y derrière est la suivante :
$pgcd(a,b)>1 \iff \exists p\in\mathcal{P},\,\,p\mid a\,\,et\,\,p\mid b$
Donc :
$pgcd(a,b)=1 \iff \not\exists p\in\mathcal{P},\,\,p\mid a\,\,p\mid b$
Et aussi :
Donc :
$pgcd(a,b)>1 \iff \forall p\in\mathcal{P},\,\,p\not\mid a\,\,ou\,\,p\not\mid b$
Je traduis avec les quantificateurs logique :
Je note $A=pgcd(a,b)>1$ et je note $B=p\mid a\,\,et\,\,p\mid b$.
$A \iff \exists p\in\mathcal{P},\,\,B$
$\lnot A \iff \not\exists p\in\mathcal{P},\,\,B\iff \forall p\in\mathcal{P},\,\,\lnot B$
Il y a aussi un résultat qui peut s'avérer pratique et qui est le suivant :
Est-ce que ça vaut le coup que je le fasse figurer ici, ou peut-il se déduire des résultats précédents ?
Le résultat que l'on tire du point 5 est que $pgcd(p,n)>1\iff p\mid n$ : les entiers non premiers avec $p$ sont les multiples de $p$. Inutile de le rajouter donc.
Avec le point 5, j'obtiens :
$pgcd(p^k,k)>1\iff\exists p'\in\mathcal{P},\,\,p'\mid p^k\,\,et\,\,p'\mid k$.
Je sais que $p\mid p^k$, mais pourquoi $p^k\mid k$ ?
Parce que $pgcd(p^{\ell},m) > 1\iff\exists p'\in\mathcal{P},\,\,p'\mid p^{\ell}\,\,et\,\,p'\mid m$ par le point 5.
Est-ce que $p'\mid p^{\ell}$ impose $p'=p^{\ell}$ ?
Par exemple $p'\mid 2^3$ impose $p'=2^3$ ? Ou quelque chose m'échappe ?
J'ai ré-écrit le théorème :
On sait que si $n\ge 2$, alors $n=\prod_{p\in\mathcal{P}}p^{a_p}$ où $(a_p)_{p\in\mathcal{P}}$ est une suite unique d'entiers, nulle à partir d'un certain rang.
Pour $p'$, vu qu'il est premier, alors il est le seul facteur premier à apparaître dans la décomposition en facteurs premiers.
L'unique suite d'entiers $(a_p)_{p\in\mathcal{P}}$ est définie de la manière suivante :
$a_p=0$ si $p\neq p'$
$a_p=1$ si $p=p'$
Pour $p^{\ell}$, alors le seul facteur premier à apparaître dans la décomposition en facteurs premiers est $p$.
L'unique suite d'entiers $(b_q)_{q\in\mathcal{P}}$ est définie de la manière suivante :
$b_q=0$ si $q\neq p$
$b_q=\ell$ si $q=p$
Comment exploiter cette décomposition (et son unicité) pour aboutir à $p'\mid p^{\ell}\Rightarrow p'=p$ ?
Mais je ne sais pas si c'est bien rédigé, ni si c'est juste.
J'écris que $d=\prod_{q\in\mathcal{P}}q^{a_q}$ où $(a_q)_{q\in\mathcal{P}}$ est une suite unique d'entiers nulle à partir d'un certain rang.
Puis $p^{\ell}=p'\times d$ s'écrit $p^{\ell}=p'^{a_{p'}+1}\times\prod_{q\in\mathcal{P}\setminus\{p'\}}q^{a_q}$.
Par unicité, on a nécessairement :
$p=p'$
$\ell=a_{p'}+1$
$\forall q\in\mathcal{P}\setminus\{p'\},\,\,\,a_q=0$
En particulier, $p=p'$.
Je devais faire cet exercice :
Montrer que si les entiers non nuls $(n,m,s)$ sont premiers entre deux à deux alors les entiers $\displaystyle(\frac{nms}{n},\frac{nms}{m},\frac{nms}{s})$ sont premiers dans leur ensemble.
Par l'absurde, supposons que $\displaystyle pgcd(\frac{nms}{n},\frac{nms}{m},\frac{nms}{s})>1$.
Cela équivaut à l'existence d'un nombre $p\in\mathcal{P}$ tel que $p\mid\frac{nms}{n}$ et $p\mid\frac{nms}{m}$ et $p\mid\frac{nms}{s}$.
Comme $p\mid\frac{nms}{n}$ alors $p\mid ms$ et donc $p\mid m$ ou $p\mid s$, par le lemme d'Euclide.
On suppose que $p\mid m$.
On sait également que $p\mid\frac{nms}{m}$, soit $p\mid ns$.
Et donc, de nouveau avec le lemme d'Euclide, $p\mid n$ ou $p\mid s$.
Mais alors on aurait l'existence de $p\in\mathcal{P}$ tel que [$p\mid m$ et $p\mid n$] ou bien [$p\mid m$ et $p\mid s$].
C'est-à-dire $pgcd(m,n)>1$ ou $pgcd(m,s)>1$.
En contradiction avec le fait que les entiers $(n,m,s)$ soient premiers entre eux deux à deux.
Un raisonnement identique permet d'aboutir à la même contradiction dans le cas où $p\mid s$.
Qu'en pensez-vous ?
Je crois que j'ai saisi l'idée, même si la rédaction semble un peu lourde.
Que citer d'autre comme tel traité ? Je vous le demande.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
J'ai l'impression que l'on trouve davantage dans la littérature anglophone. Je cherche aussi des livres sur les contre-exemples, et là aussi, c'est vers elle qu'il faut se tourner. C'est dommage !
Sinon, pouvez-vous me dire ce que vous pensez de ma rédaction, ci-dessus ? Pouvez-vous me donner des conseils pour l'améliorer ?
Merci beaucoup:)
D'une façon générale, on a toujours plus de renseignements en anglais qu'en français. Comparer le nombre de livres et de revues dans les deux langues. C'est triste mais c'est ainsi. J'ai l'impression que dans d'autres langues européennes ce doit être encore pire, non ? Mais comme j'ai dit maintes fois, un anglais rudimentaire comme celui qu'on connaît au sortir du baccalauréat suffit pour lire des textes mathématiques en anglais, même si comme moi on n'est pas capable de suivre un film, ou lire un journal ou un roman en anglais.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Bonne réception.
Fr. Ch.
J'essaye aussi de faire les miennes, pour essayer de circonscrire ces notions. Même si on ne pourra jamais les circonscrire complètement.
Je vais m'en inspirer.
Par ailleurs pour le lemme d'Euclide la conclusion peut être confuse car il se peut que $p$ divise les deux nombres $a$ et $b$.
[Carl Friedrich Gauss (1777-1855) prend toujours une majuscule. AD]
1) la méthode permettant de résoudre les équations diophantiennes.
2) le raisonnement par récurrence.
3) la méthode de descente infinie.
4) le principe des tiroirs de Dirichlet.
Peut-on avoir une phrase plus vague ? :)o
La rigueur mathématique, ça me plaît.
L’excès de rigueur dont peuvent faire preuve certains mathématiciens, ça me hérisse.
Encore un excès de rigueur, de la part ici de Fin de partie après celui de Poirot.
Ce qui fait fuir les élèves à l’ecole, ce ne sont pas les mathématiques, ce sont les mathématiciens.
Dans le message initial de BMaths, il est essentiellement question de choses vues dans l'enseignement secondaire. Alors, avec une once de réflexion, on peut comprendre que je lui parle des équations diophantiennes que l'on peut résoudre dans le cadre de l'enseignement secondaire également, c'est-à-dire celles de la forme ax+by=c.
Au fond, ta réaction est typique de certains mathématiciens : J'ai proposé à BMaths quelques petites idées auxquelles tu n'as manifestement pas pensé. Alors, tu les démolis, prétextant la sacro-sainte «rigueur mathématique».
Bonne après-midi quand même.