Petit problème de divisibilité

J'aurais dit modulo 3.
La somme des chiffres de n est divisible par 6, ça veut dire que n est divisible par 3( propriété connue sous le nom de preuve par 3) .
Donc n+1 est de la forme 3n+1.
Donc la somme des chiffres de n+1 est de la forme 3n+1 (encore cette preuve par 3).
Et comme ce nombre est aussi un multiple de 5, la somme des chiffres de n+1 est soit 10, soit 25, soit 40 etc, mais peu probable qu'on ait besoin d'aller aussi loin.

Si on veut que la somme des chiffres de n+1 soit 25, ça nous oblige à aller chercher n au delà de 700... Pour les plus petits nombres, la seule solution envisageable, c'est que la somme des chiffres de n+1 soit 10.
Si le chiffre des unités de n+1 n'est pas 0, la somme des chiffres de n+1 sera 9, qui n'est pas un multiple de 6.
Donc le chiffre des unités de n+1 doit être 0
Il y a 190 qui convient (forcément, c'est l'exemple donné dans l'énoncé) . Le prochain nombre qui donne une somme de chiffres de 10, et finissant par un 0, c'est 280. Est-ce que ce nombre convient pour l'autre critère ? 2+7+9=18=3*6, bingo !

Bonsoir,
Je pense qu'on peut traiter également la question de la façon survivante:
On note Le premier des deux nombres $n=abc$ en base $10$.
Deux cas sont possibles:
-Premier cas: $c\neq 9$, alors $n+1=abc'$ où $c'=c+1$.
Les deux conditions s'écrivent: $a+b+c=6x$ et $a+b+c+1=5y$. On a alors $5y-6x=1$
On trouve après résolution de l'équation: $a+b+c=30k-6$ et $a$, $b$ et $c$ étant des chiffres avec $c<9$
on aura $9\leq 30k\leq29$ ce qui ne marche pas.
-Deuxième cas: c=9, alors $n+1=a'b'0$ avec deux sous cas:
-si $b\ne 9$: $a'=a$ et $b'=b+1$ et alors $a+b+9=6x$ $a+b+1=5y$. On a alors $6x-5y=8$.
On aura alors $x=5k+8$ et enfin $a+b=30k+39$.
$a$ et $b$ étant des chiffres on trouve $a+b=9$.
Donc le plus petit entier est bien $189$ et le suivant est $279$
-si $b=9$, je n'ai pas traité le cas mais je crois que n devrait être $299$...
Cordialement