Pôle en s=1 ssi factorisable par zeta?

Pas à ma connaissance. Poirot, tu confirmes ?

Même si elle continue à faire l'objet de pas mal de recherche, les conjectures lièes à la classe de Selberg restent pour la plupart d'entre elles un mystère, et la recherche s'oriente plus vers des choses, disons, plus prometteuses, comme :

- les théorèmes de densité des zéros (Mukhopahyay & Srinivas, 2019) ;

- les théorèmes de Mertens pour la classe de Selberg (Yashiro 2014) ;

- le théorème des nombres premiers pour la classe de Selberg (Yashiro, 2014) ;

- les valeurs moyennes du carré du terme d'erreur (Cao, Tanigawa & Zhai, 2015), etc.

Je ne suis pas sûr de comprendre ta dernière question, mais la conjecture d'Artin est toujours ouverte dans le cas général (et va sûrement le rester un moment), même si on connaît quelques cas où elle est vraie, comme dans le cas de groupes de Galois super-résolubles (pour des raisons à peu près triviales), ou par des travaux plus difficile dans presque tous les cas concernant des caractères de degré $2$.

J'ai plus travaillé sur des choses en lien avec le théorème de Chebotarev (dans les corps de nombres et les corps de fonctions) disons. Je me contente donc des fonctions $L$ d'Artin.