Nombres premiers issus de suite de Fibonacci
dans Arithmétique
Bonjour
Soient des nombres de la forme
Pour Fn=8, (Fn-1=5) les calculs que j'ai faits jusqu'à k=627 montrent 45 paires qui remplissent ces conditions.
Mais aussi que les k associés sont toujours des multiples de 3.
Je n'ai malheureusement pas trouvé de relation entre tous ces k (hélas sinon j'aurais trouvé une formule générant directement une infinité de nombres premiers).
Les quinze premiers k sont
1, 3, 6, 18, 21, 36, 39, 48, 63, 69, 81, 89, 99, 102, 132.
Cependant y a-t-il un estimable correspondant de ce forum qui peut expliquer ce k multiple de trois ?
Cordialement sd
Soient des nombres de la forme
kFn + Fn-1 et kFn - Fn-1,
où les Fn sont les nombres de Fibonacci, k un élément de N, et qui sont simultanément premiers pour une même valeur de k.Pour Fn=8, (Fn-1=5) les calculs que j'ai faits jusqu'à k=627 montrent 45 paires qui remplissent ces conditions.
Mais aussi que les k associés sont toujours des multiples de 3.
Je n'ai malheureusement pas trouvé de relation entre tous ces k (hélas sinon j'aurais trouvé une formule générant directement une infinité de nombres premiers).
Les quinze premiers k sont
1, 3, 6, 18, 21, 36, 39, 48, 63, 69, 81, 89, 99, 102, 132.
Cependant y a-t-il un estimable correspondant de ce forum qui peut expliquer ce k multiple de trois ?
Cordialement sd
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Réponses
Modulo 3, on a : $\forall k\in\Bbb N, 8k +5 \equiv -k -1 \,[3]$ et $8k -5 \equiv -k +1 \,[3]$. Donc si $k$ n'est pas multiple de $3$, alors $8k+5$ ou $8k-5$ est divisible par $3$.
Merci pour cette démonstration ,
On vérifie bien dans ma liste jusqu'à k=627 .
Si k n'est pas multiple de 3 l'un des 8k+5 ou 8k-5 est multiple de 3.
Mais il reste pour k=3 des 8k+5 et 8k-5 qui ne sont pas premiers simultanément.
Ça c'est normal : il ne suffit pas qu'un nombre soit non divisible par trois pour être premier.