Recherche d'une démonstration
dans Arithmétique
Bonjour,
Est-ce que vous auriez une démonstration du résultat suivant s'il vous plaît ?
Soient $f,F: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ deux fonctions telles que :
$\forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, F(n)=\displaystyle \prod_{d \mid n}{f(d)}$, alors :
$\forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, f(n)=\displaystyle \prod_{d \mid n}{F\left(\dfrac{n}{d}\right)^{\mu(d)}}$
où $\mu$ est la fonction de Möbius.
Cordialement,
Quentin H.
Est-ce que vous auriez une démonstration du résultat suivant s'il vous plaît ?
Soient $f,F: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ deux fonctions telles que :
$\forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, F(n)=\displaystyle \prod_{d \mid n}{f(d)}$, alors :
$\forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, f(n)=\displaystyle \prod_{d \mid n}{F\left(\dfrac{n}{d}\right)^{\mu(d)}}$
où $\mu$ est la fonction de Möbius.
Cordialement,
Quentin H.
Réponses
-
Bonjour, il y en a une dans Algèbre, le grand combat, de G.Berhuy.
-
C'est l'inversion de Möbius : on a $\log F(n) = \sum_{d \mid n} \log f(d)$, d'où, par inversion de Möbius, on obtient $\log f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) F(n/d)$, et on passe à l'exponentielle.
-
D'accord merci !
-
Dans le Tenenbaum tu as cette démonstration dans les premiers chapitres !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres