Valeur moyenne de $d^2/n$

On ne cherche jamais d'équivalent de fonctions arithmétiques, leurs valeurs étant trop erratiques pour pouvoir espérer obtenir quelque chose. Ce que l'on peut faire, en revanche, c'est :

(i) Chercher des majorations et/ou minorations.

(ii) Chercher des formules asymptotiques en moyenne.

(iii) Plus difficile, chercher des ordres extremaux.

Bien sûr, une simple sommation partielle permet alors d'en déduire que
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n}\sum_{\substack{d \mid n \\ d \leqslant \sqrt n}} d^2 = \tfrac{1}{2} \left( x + x^{1/2} \right)+ O_\varepsilon \left( S(x) x^{\varepsilon} \right)$$
où
$$S(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & \textrm{si la conjecture de Chowla-Walum est vraie} \, ; \\ & \\ x^{517/1648} \approx x^{0,3137 \dotsc}, & \textrm{sinon}. \end{cases}$$

Bonjour,

noix de totos a écrit:

On ne cherche jamais d'équivalent de fonctions arithmétiques

Petite question de vocabulaire : la fonction de comptage $\pi$ est-elle une fonction arithmétique ?

Merci.

Oui. En pratique, on distingue une fonction arithmétique de sa fonction sommatoire.

Et il est vrai que si l'on estime des fonctions sommatoires, c'est parce que l'on compte sur "l'effet régularisant" dont parle Poirot pour espérer en tirer un quelconque bénéfice sur les fonctions arithmétiques elles-mêmes.

On se rend vite compte que cette approche, très intéressante, est toutefois insuffisante dans bon nombre d'exemples, tout simplement parce que le comportement est tellement erratique, que même sa moyenne n'est pas assez costaud(e) pour lisser suffisamment les résultats.

On essaie alors d'aller encore plus loin : estimer les fonctions arithmétiques pour presque tous les entiers. Cela implique de définir une densité sur les entiers (en fait, il y en a plusieurs), puis d'écarter les entiers qui sont la cause du comportement erratique de la fonction arithmétique étudiée.

Exemple. si $\tau(n)$ désigne le nombre de diviseurs de $n$, alors en moyenne, $\tau(n)$ est "à peu prés" égale à $\log n$, alors que, en écartant les entiers pénibles, elle est "à peu près" égale à $(\log n)^{\log 2}$.

Étonnant, non ?

Oui c'est $1$, j'avais en tête la fonction nombre de diviseurs, je corrige.

Oui : par exemple,
$$\displaystyle \sum_{n \leqslant x} \tau_k(n) \leqslant 2 x (\log x)^{k-1} \quad \left( x \geqslant 6\right) $$
ou bien, par récurrence
$$\displaystyle \sum_{n \leqslant x} \tau_k(n) \leqslant \frac{x}{(k-1)!} \left( \log x + k-1\right)^{k-1} \quad \left( x \geqslant 1 \right). $$
Fais $k=2$ pour avoir celle que tu demandes.

Oui, je connais ce papier.

Mais tu as remarqué que cet article ne donne que des bornes, certes très précises, concernant seulement la fonction de diviseurs $\tau = \tau_2$.

Je t'ai donné des bornes, certes moins précises, mais concernant toutes les fonctions de diviseurs $\tau_k$, appelées fonctions de diviseurs de Dirichlet-Piltz.