Minoration de li(x)

Soit $f :\left[ a,b \right] \to \mathbb{R}$, $a < b$, une fonction convexe sur $\left[ a,b \right]$. Alors
$$f \left( \frac{a+b}{2} \right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}.$$

De rien ! Et comme je ne peux pas m'en empêcher (!), voici l'une des dernières améliorations de ce résultat (Farissi, 2010) : Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus
$$f \left( \frac{a+b}{2} \right) \leqslant \sup_{0 \leqslant \lambda \leqslant 1} \ell (\lambda) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, \textrm{d}x \leqslant \inf_{0 \leqslant \lambda \leqslant 1} L (\lambda) \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}$$
où $\ell,L: [0,1] \to \mathbb{R}$ sont définies par
\begin{align*}
\ell(\lambda) &:= \lambda f \left( \frac{\lambda b + (2-\lambda) a}{2} \right) + (1-\lambda) f \left( \frac{(1+\lambda) b + (1-\lambda) a}{2} \right) \, ; \\
L(\lambda) &:= \tfrac{1}{2} \left \{ f(\lambda b + (1-\lambda)a) + \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b) \right \}.
\end{align*}