Comportement asymptotique d'une somme

Cette fonction est plus compliquée à estimer que son homologue $2^{\omega(n)}$, où $\omega$ ne tient pas compte des multiplicités. Elle "passe aussi le champs" des fonctions satisfaisant l'hypothèse de Ramanujan, i.e. $f(n) \ll n^{\varepsilon}$.

Elle a quand même été traitée : on a
$$\sum_{n \leqslant x} 2^{\Omega(n)} = \frac{1}{8 \log 2} \prod_{p > 2} \left( 1 + \frac{1}{p(p-2)} \right) x (\log x)^2 + O(x \log x).$$
Note que la constante est $\approx 0,27317 \dotsc$

Pour une fonction arithmétique $f$ à valeurs positives, le "raisonnement" suivant peut aider :

1. Calculer la série de Dirichlet associée $L(s,f)$ ;

2. La fonction sommatoire est alors "proche" du (ou des) résidu(s) au(x) pôle(s) de la fonction $s \mapsto L(s,f) x^s s^{-1}$.

Ici, on trouve, pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\textrm{Re}(s) > 1$
$$L \left(s, 2^\Omega \right) = \zeta(s)^2 \left( 1 + \frac{1}{2^s(2^s-2)} \right) \prod_{p > 2} \left( 1 + \frac{1}{p^s(p^s-2)} \right).$$
Le produit eulérien n'est pas un problème, puisqu'il est absolument convergent dans le $\frac{1}{2}$-plan $\textrm{Re}(s) > \frac{1}{2}$, donc sa contribution au résidu en $s=1$ est simple : il suffit de remplacer $s$ par $1$. Le pôle $s=1$ est triple, on le calcule en prenant le coefficient associé de la série de Laurent.

D'une manière générale, si $s=\alpha$ est un pôle unique d'ordre $\beta \geqslant 1$ de $L(s,f)$ et si $f \geqslant 0$, alors il y a de grandes chances pour que $\sum_{n \leqslant x} f(n) \sim C_f x^\alpha (\log x)^{\beta-1}$ lorsque $x \to \infty$, et où $C_f$ est une constante provenant du calcul du résidu de $s \mapsto L(s,f) x^s s^{-1}$ en $\alpha$.