Majoration d'une intégrale

syazibene · April 2020

Est-il possible de montrer que $\int_{2}^{x}\ln(1-\frac{1}{2t})dt\leq -\ln(\ln(x))$?

Sylvain · April 2020

Une primitive de $ln$ est $x\mapsto x\ln(x)-x$. On doit alors pouvoir conclure après un changement de variable.

Poirot · April 2020

@syazibene : Ton intégrale se calcule immédiatement : pour tout $t > 1/2$, $\log(1 - \frac{1}{2t}) = \log(2t - 1) - \log(2t)$ donc $$\int_{2}^{x}\log\left(1-\frac{1}{2t}\right) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \left[(2x-1)\log(2x-1) - (2x-1) - 3\log 3 + 3 - 2x\log(2x) + 2x + 4 \log 4-4\right].$$