Une loi

Sans rien comprendre et sans garantie...

sage: def S(a,b):
....:     if a==b:
....:         return 7*a
....:     if a>b:
....:         return S(b,a)
....:     return S(a,b-a)+2*a^2/gcd(a,b-a)+a
....: 
sage: S(9227465,14930352)
275538625193180

Bonjour,

Que fait Sage, au juste ?
Sans rentrer dans les détails d’un programme en assembleur, il travaille à tâton ?
Il construit une liste de valeurs (c’est vague, je sais) ?

Cordialement

Dom

@Dom : La condition 1 permet de supposer que $a\le b$. Si $a=b$ on a la réponse par la condition 2. La condition 3 peut se récrire $a\ast b=a\ast(b-a)+2\dfrac{a^2}{a\wedge(b-a)}+a$. Comme pour le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide jeune (celui qu'il utilisait avant d'avoir inventé la division euclidienne, par soustractions successives), on fait diminuer $\max(a,b)$ jusqu'à tomber sur un couple d'entiers égaux.

Bref, voici la matrice $(i*j)_{1\le i,j\le10}$.

sage: Matrix(10,10,lambda i,j: S(i+1,j+1))
[  7  10  13  16  19  22  25  28  31  34]
[ 10  14  20  20  30  26  40  32  50  38]
[ 13  20  21  34  41  30  55  62  39  76]
[ 16  20  34  28  52  40  70  40  88  60]
[ 19  30  41  52  35  74  85  96 107  50]
[ 22  26  30  40  74  42 100  68  60  82]
[ 25  40  55  70  85 100  49 130 145 160]
[ 28  32  62  40  96  68 130  56 164 104]
[ 31  50  39  88 107  60 145 164  63 202]
[ 34  38  76  60  50  82 160 104 202  70]

Quelques remarques à bas prix : on pourrait bien avoir $a\ast1=3a+1$ et l'OEIS ne semble pas connaître la suite $(a\ast2)_{a\ge1}$.

Au départ je ne pensais pas qu'il y aurait une formule aussi simple : $$a\star b = a+b+2 (a\vee b)+3(a \wedge b)$$