Division par 9

ychaouche · April 2020

Salut,

Pourquoi n'importe quel chiffre n entre 1 et 8 compris divisé par neuf s'écrit 0,nnnnnn ? y a-t-il des propriétés similaires pour d'autres chiffres (avec n'importe quelle autre opération ou fonction)

Poirot · April 2020

$9$ c'est $10-1$, donc si $a$ est un entier entre $1$ et $8$, on a $$\frac{a}{9} = \frac{a}{10 - 1} = \frac{a}{10} \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{a}{10} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{10^n} = 0,aaaaa\dots$$

gerard0 · April 2020

Yaouche,

regarde les divisions par 7. Si "elles ne se terminent pas", on retrouve toujours la même suite de 6 chiffres.

Cordialement.

ychaouche · April 2020

Waaaaaa

Champ-Pot-Lion · April 2020

Quand j'entre $\sqrt{123456790}$ sur ma calculatrice, ça sort $11111.11111$ (attention, c'est 790 la fin, pas 7890). Pour comprendre pourquoi, calculer $1/81 = 1/9^2$.

Regarde aussi : $1/333$, $3333^2$, $6666^2$, $9999^2$, les inverses de $9^2$, de $99^2$, de $999^2$, etc. Les multiples de $33^2$, de $333^2$ (par exemple $9\times 33^2=99^2$), les multiples de $999$. Il y a de quoi s'amuser avec une calculatrice (si ça amuse).

Pour $1/7$, on peut faire pareil avec $17$ ou $23$.

lourrran · April 2020

Essaie p/99, avec n'importe quelle valeur de p entre 1 et 98 ... et même, essaie avec à peu près n'importe quel nombre comme diviseur, tu auras des phénomènes plus ou moins similaires.
A partir du moment où n a au moins un diviseur premier autre que 2 et 5, tu as ce phénomène de répétition infinie quand on divise un entier quelconque par n.

Wikipedia parle de tout ça dans son chapitre : 'Développement décimal Périodique'

ychaouche · April 2020

Lourran, un grand merci ! je suis tombé sur une page free très intéressante d'un certain Gérard Villemin qui explique que toute fraction de deux entiers peut s'écrire sous forme de développement décimal périodique, c'est-à-dire de chiffres qui se répètent après la virgule, parfois avec un préfixe. Il y a même une formule assez simple pour retrouver les deux entiers de la fractions à partir de sa valeur décimale, par exemple : il y a une formule pour passer de 0.543213213213213213 à 54267/99900.

J'y apprend aussi qu'un nombre rationnel c'est un nombre dont les décimales, si elles existent, sont répétées à l'infini, par opposition à l'irrationnel dont les décimales ne sont pas répétées.

D'autres nombres intéressants sont présentés, tels que 1/14.

Le lien : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/NbCycliq.htm que je continue à lire.

Dom · April 2020

Et ce sont des connaissances de l’école primaire qui permettent de le démontrer.

Quand on divise un $a$ entier par un autre $b$, on obtient un reste entre $0$ et $b-1$.
Ainsi, ou bien on obtient $0$ comme reste à un moment donné ou bien, après avoir obtenu les $b$ premiers restes on en retrouve forcément un déjà vu, et l’algorithme de division posée « cycle », d’où la répétition d’une période indéfiniment.

Réciproquement, une période d’un nombre entier $e$ de $n$ chiffres « s’attrape » avec le quotient $\dfrac{e}{10^n-1}$ ou encore $e/999...99$ où le dénominateur possède exactement $n$ chiffres $9$ dans son écriture décimale.

lourrran · April 2020

Toute personne qui s'intéresse aux nombres a parmi les favoris de son navigateur un lien vers une page ou une autre du site de G.Villemin. C'est un incontournable.
Les plus fous ont même le livre 'Les nombres remarquables' de François Le Lionnais.

nodgim · April 2020

Ben non, pas forcément....

Rescassol · April 2020

Bonjour,

>Les plus fous ont même le livre 'Les nombres remarquables' de François Le Lionnais.

Je l'ai et je le consulte chaque fois que j'ai un bon anniversaire à souhaiter.

Cordialement,

Rescassol

nodgim · April 2020

Cette question vient de me faire découvrir de quelle façon faire facilement une division par 9, seulement avec des additions.....

Division par 9

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Bonjour!

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