Suite numérique d'entiers
dans Arithmétique
Bonjour
$u_0=u_1=u_2=u_3=u_4=1$ , $u_{n+5}=\frac{u_{n+4}u_{n+1}+u_{n+3}u_{n+2}}{u_n}$
Montrer que tous les $u_n$ sont des entiers naturels.
Merci
$u_0=u_1=u_2=u_3=u_4=1$ , $u_{n+5}=\frac{u_{n+4}u_{n+1}+u_{n+3}u_{n+2}}{u_n}$
Montrer que tous les $u_n$ sont des entiers naturels.
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il y a cette récurrence un peu acrobatique, qui requiert un certain soin, mais qui ne fait usage que d'arguments arithmétiques élémentaires.
$\forall n \in \N$, notons $\mathcal P_n$ l'assertion:
$$U_{n+4} \wedge U_{n+3} =U_{n+4} \wedge U_{n+2} =U_{n+4} \wedge U_{n+1}= U_{n+4}\wedge U_n =1\quad\:\:\text{et}\:\:\: U_{n+5}\in \N^*.$$
$\mathcal P _n$ est vraie pour $ n\in \{0;1;2;3;4\}.\quad $ Soit $ n\geqslant 4$ et supposons: $\:\:\forall k\leqslant n, \:\:\mathcal P_k$ est vraie.
Alors: $\quad U_{n+5}U_n = U_{n+4}U_{n+1} + U_{n+3}U_{n+2} \quad (1)$
$(1)$ entraîne d'abord: $\boxed {U_{n+5} \wedge U_{n+4} = U_{n+5} \wedge U_{n+3}=U_{n+5} \wedge U_{n+2} =U_{n+5} \wedge U_{n+1} =1.}\qquad $ Je note $a = U_{n+1}.\quad $
D'autre part : $(1) \implies U_{n+5}U_n \equiv U_{n+3}U_{n+2} \qquad \mod a.\qquad$
Avec $\:\: U_{n-1}U_{n+4} \equiv U_nU_{n+3}\:\: (2), \quad U_{n-1}U_{n+2} \equiv U_{n-2} U_{n+3} \:\: (3), \quad U_{n+2}U_{n-3} \equiv U_n U_{n-1} \:\: (4), \:\:\mod a$, on obtient les congruences suivantes $\mod a$:
$$ \begin{align*} U_n\Big (U_{n+5}U_{n+2} + U_{n+4}U_{n+3} \Big) \overset{(1)}{\equiv }& U_{n+3}\left ( U_{n+2}^2 +U_{n+4}U_n \right) \\U_{n-1}U_n\Big (U_{n+5}U_{n+2} + U_{n+4}U_{n+3} \Big) \equiv &U_{n-1} U_{n+3}\left ( U_{n+2}^2 +U_{n+4}U_n \right)\\ \overset {(2)} {\equiv }&U_{n-1} U_{n+3} U_{n+2}^2 + U_{n+3}^2U_n^2\\ \overset{(3)}{ \equiv }& U_{n+3}^2\left( U_{n+2}U_{n-2} + U_n^2\right) \\ U_{n-3}U_{n-1}U_n\Big (U_{n+5}U_{n+2} + U_{n+4}U_{n+3} \Big) \equiv &U_{n-3} U_{n+3}^2\left( U_{n+2}U_{n-2} + U_n^2\right) \\ \equiv & U_{n+3}^2 \left(U_{n+2}U_{n-2} U_{n-3}+ U_n^2U_{n-3}\right)\\ \overset{(4)}{\equiv }& U_{n+3}^2 \left(U_{n}U_{n-1} U_{n-2}+ U_n^2U_{n-3}\right)\\ \equiv & U_{n+3}^2U_n \Big(U_{n-1} U_{n-2}+ U_nU_{n-3}\Big) \\ \equiv & U_{n+3}^2U_n U_{n+1}U_{n-4}\\ \equiv & 0 \qquad \mod a. \end{align*}$$
L'hypothèse de récurrence dit que $a\wedge U_n = a\wedge U_{n-1} = a \wedge U_{n-3} =1, \:\:$ et permet de déduire: $\quad U_{n+5}U_{n+2} + U_{n+4}U_{n+3} \equiv 0 \mod a,\qquad \boxed { U_{n+6}=\dfrac{U_{n+5}U_{n+2} + U_{n+4}U_{n+3} }{U_{n+1}} \in \N^*}\:\:$, ce qui achève la preuve de $\mathcal P_{n+1}\: \square $
Je me demandais si on pouvait trouver une relation de récurrence linéaire à coefficients entiers.
Il me semble que ce fil devrait être hébergé dans la rubrique "Arithmétique".
Je n'ai pas de réponse irréfutable à la question que tu te poses, mais j'ai de sérieux doutes sur le fait que la suite en question soit aussi régie par une récurrence linéaire.
En effet, pour toute suite $(u_n)_n$ obéissant à une récurrence linéaire, la suite $\left(\dfrac {\log(u_n)}n \right )_n$ est bornée et, expérimentalement, il semble que ce ne soit pas le cas pour $(U_n)_n.$
Peut-être $u_n$ vérifie une relation $u_{n+5}=\sum_{j=0}^{4}a(n+j)u_{n+j}^{b(n+j)}$avec a(k) et b(k) suites d’entiers .
nous calculons jusqu'à n = 20 les termes successifs de la suite, nous constatons qu'ils sont tous entiers naturels,
ils sont impairs sauf ceux d'indice n = 5 + 6k qui sont pairs
avec : u(5) = 2 ; u(11) = 274 et u(17) = 9 434 290
la démonstration de cette imparité et parité relève de l'arithmétique
comme l'a très bien fait Lou16 pour la propriété de u(n) entier naturel
nous pouvons par l'algèbre démontrer que la suite est monotone croissante non-bornée et donc divergente
étudions la différence finie : $u_{n+5} - u_{n+4} = \frac{u_{n+4}(u_{n+1}-u_{n})+u_{n+3}u_{n+2}}{u_{n}}$
en prenant pour hypothèse de récurrence : $u_{n+1} - u_{n} > 0$
nous constatons que la différence finie $u_{n+5} - u_{n+4}$ est également positive quel que soit n > 4
la suite est monotone strictement croissante à partir de n = 5 et cette croissance est accélérée
nous le démontrons par récurrence avec pour hypothèse : $u_{n+1} - 2u_{n} + u_{n-1} > 0 $
nous calculons la différence finie d'ordre 2 :
$$u_{n+5} - 2u_{n+4}+u_{n+3} = \frac{u_{n+4}(u_{n+1} - 2u_{n}+u_{n-1}) + u_{n+2}(u_{n+3}-u_{n+1})}{u_n}$$
la différence simple $u_{n+3} - u_{n+1}$ est positive puisque la suite est croissante
et donc la différence finie du premier membre est strictement positive
et effectivement la croissance de la suite est accélérée et donc la suite est divergente vers +oo
quant à expliciter u(n) en fonction de n, ce qui est éventuellement possible,
il faudrait tester plusieurs conjectures, faute de relation récurrente affine.
cordialement
Je me suis intéressé au comportement modulo $m$ de $(U_n)_n$ et cela m'a amené à mettre en évidence une propriété algébrique remarquable de cette suite.
La seule exploitation arithmétique de la relation de récurrence ne permettant pas d'étudier la parité de la suite, j'ai examiné la suite $(A_n) _{n\in N} $ de $\Z(x,y,z,t,u) $ (où $x,y,z,t,u$ sont des indéterminées), définie par:
$A_0=x,\: A_1=y, \:A_2 = z,\:A_3 = t,\: A_4 = u,\:\: \forall n \in \N,\:\: A_{n+5} = \dfrac {A_{n+1}A_{n+4} + A_{n+2}A_{n+3}} {A_n}.$
Quelques notations: $\mathbb A =\Z [x,y,z,t,u, \frac 1x, \frac1y, \frac 1z, \frac 1t, \frac 1u], \quad \mathcal S = \{ x^{a}y^bz^ct^du^{e}\mid (a,b,c,d,e) \in \N^5\}.$
Tout élément $f$ de $\mathbb A$ s'écrit de manière unique $ f = \dfrac pq, \quad p \in \Z[x,y,z,t,u], \quad q \in \mathcal S,\quad p\wedge q = 1.$
Au terme de calculs un peu longs mais très élémentaires, j'ai abouti à: $$\boxed{\forall n \in \N, \quad A_n \in \mathbb A, \quad A_n = \dfrac {p_n}{q_n}, \quad p_n \in \Z[x,y,z,t,u], \quad q_n \in \mathcal S,\quad p_n\wedge q_n = 1}\quad (\star)$$
Pour parvenir à $(\star)$, en raisonnant modulo l'idéal $p_5 ^2\mathbb A$, j'ai commencé par prouver que
$A_{10} \in \mathbb A,$ et que $p_5\wedge p_6 = p_5\wedge p_7 =p_5\wedge p_8 =p_5\wedge p_9 =p_5\wedge p_{10} =1$, et procédé ensuite par récurrence. (ce sont un peu les mêmes ingrédients que ceux utilisés dans mon premier message.)
On déduit bien entendu de $(\star)$ que: $ \forall n \in \N, \:\: U_n \in \N$, mais aussi par exemple que :
$U _ {n+6}= \dfrac{p_n(U_6,U_7,U_8,U_9,U_{10})}{q_n(U_6,U_7,U_8,U_9,U_{10})}. \:\quad$ Or, $\:\forall k \in [\![0;4]\!],\: \:U_k \equiv U_{k+6} \equiv 1 \mod 2. \:\:\quad U _ {n+6}\equiv \dfrac{p_n(U_0,U_1,U_2,U_3,U_4)}{q_n(U_0,U_1,U_2,U_3,U_{4})} \equiv U_n \mod 2.$
L'examen des premiers termes de $(U_n)_n$ conduit de même à: $\:\:\forall n \in \N,\:\: U_{n+12} \equiv U_n \mod 4, \quad U_{n+16} \equiv U_n \mod 3.$
Propriété algébrique remarquable de la suite ....etc .. ? Je veux bien te croire car tu viens de faire joujou avec Somos-5. Un article de Stanley in https://arxiv.org/pdf/math/0211114.pdf. Il faudrait probablement passer plusieurs mois pour comprendre, enfin je parle de mézigue.
Un exposé de Bernhard Keller à Bourbaki en 2009, Algèbres ammassées, carquois et tout le fourbi in https://webusers.imj-prg.fr/~bernhard.keller/publ/Exp.1014.B.Keller.pdf. Quelle chance tu as toi, tu es jeune (enfin je le crois). Si tu comprends un peu (et même beaucoup), tu nous raconteras ? Merci.