Nombre triangulaire.

poli12
poli12
dans Arithmétique
Bonjour
De l’aide pour cette exercice s’il vous plaît.
Déterminer la progression arithmétique de raison minimale dont les termes sont des entiers et qui ne contiennent aucun nombre triangulaire.

Réponses

  • jandri
    jandri
    Il suffit de regarder la suite des nombres triangulaires modulo 3.
  • poli12
    poli12
    Bref indication . Je ne sais vraiment pas comment commencer. Déjà je sais que la progression est de la forme $U_n=nr$ avec $n, r \in \mathbb N^*$. Et on sait que $U_n$ est triangulaire si et seulement si $U_n=\frac{s(s+1)}{2}$ avec $s\in \mathbb N^*$ ssi $r=\frac{s(s+1)}{2n}$. Mais comment poursuivre?
    Merci pour tout aide.
  • poli12
    poli12
    Merci Janri.
    Mais c’est surtout la démarche à suivre mon problème.
  • jandri
    jandri
    Il faut écrire le début de la suite des nombres triangulaires, puis calculer les restes dans la division par 3 de ces nombres et observer les valeurs obtenues.
  • lourrran
    lourrran
    Une chose est sûre : recenser les premiers nombres triangulaires, ça paraît la bonne méthode.
    Quand on aura écrit les 5 premiers ou les 10 premiers nombres triangulaires sur une feuille, on verra certainement une 'logique'.
    Restera ensuite à démontrer le résultat pressenti.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • poli12
    poli12
    Bonjour . Je constate que les nombres triangulaires $ T_n$ sont de la forme $1+3s$ et $3s$ avec $s\in \mathbb N$. Donc si je prends $U_n=2+3n$ , $n \in \mathbb N$ aucun $T_n$ ne s’écrit ainsi. Et on constate que $U_n$ est une suite arithmétique de raison minimale qui ne contient aucun nombre triangulaire.
  • lourrran
    lourrran
    Tu constates que aucun nombre triangulaire n'est de la forme $3s+2$.
    Ok.
    Mais idéalement, il faudrait le démontrer. Là, tu as fait la moitié de l'exercice.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • poli12
    poli12
    Ce qui me surprend est que aucun nombre triangulaire n’est de la forme $1+3s$ avec $s\in\mathbb N^*$ et pourtant c’est deux suites différentes.
  • Gilles old
    Gilles old
    Je te propose de montrer par récurrence ceci : "pour tout entier naturel $k$, on a $T_{3k} \equiv 0 \,[3]$, $T_{3k+1} \equiv 1 \,[3]$ et $T_{3k+2} \equiv 0 \,[3]$" après avoir montré que $T_{n+3} \equiv T_n \,[3]$ pour tout entier naturel $n$.

    On peut aussi démontrer avec quelques calculs que
    • $T_{3k}=6T_k+3T_{k-1}$
    • $T_{3k+1}=9T_k+1$
    • $T_{3k+2}=12T_k-3T_{k-1}+3$,
    ce qui rend cette même conclusion immédiate.
  • gerard0
    gerard0
    poli12 écrivait:
    > Ce qui me surprend est que aucun nombre triangulaire n’est de la forme $1+3s$ avec $s\in\mathbb N^*$ et pourtant c’est deux suites différentes.

    Tu dis le contraire deux messages au dessus.
    Veux tu dire $-1 +3s$ ? $-1+3 = 2$ ?
    Cordialement.
  • poli12
    poli12
    Merci pour vos indications.
    Elles m’ont vraiment aidé.
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