Somme
dans Arithmétique
Salut j'ai besoin d'aide pour calculer cette somme $$ \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{p=k}^{n}C_{n}^{k}C_{n+p}^{k+p}.
$$ J'ai montré l'égalité suivante $$ \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{p=k}^{n}C_{n}^{k}C_{n+p}^{k+p}= \sum_{p=0}^{n}C_{2n+p}^{n}.
$$ Je cherche une preuve simple de cette relation $$ \sum_{p=0}^{n}C_{2n+p}^{n}=\frac{(2n+1)C_{3n+1}^{n}-nC_{2n}^{n}}{n+1}.$$
$$ J'ai montré l'égalité suivante $$ \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{p=k}^{n}C_{n}^{k}C_{n+p}^{k+p}= \sum_{p=0}^{n}C_{2n+p}^{n}.
$$ Je cherche une preuve simple de cette relation $$ \sum_{p=0}^{n}C_{2n+p}^{n}=\frac{(2n+1)C_{3n+1}^{n}-nC_{2n}^{n}}{n+1}.$$
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Réponses
L'égalité $\displaystyle\sum_{p=0}^{n}C_{2n+p}^{n}=\frac{(2n+1)C_{3n+1}^{n}-nC_{2n}^{n}}{n+1}$ est juste mais on obtient une expression plus simple en utilisant la propriété connue : $\displaystyle\sum_{k=0}^nC_{a+k}^{a}=C_{a+n+1}^{a+1}$
Soit $A_k$ l'ensemble des entiers compris entre $1$ et $k$
Pour $n\geq 0$, je note $E$ l'ensemble des parties à $n+1$ éléments de $A_{3n+1}$.
Le cardinal de $E$ est $\binom{3n+1}{n+1}$. Le maximum $m$ d'une telle partie vérifie $n+1 \leq m \leq 3n+1$.
- Comptons le nombre d'éléments de $E$ vérifiant $n+1 \leq m \leq 2n+1$.
- Comptons le nombre d'éléments de $E$ vérifiant $2n+2 \leq m \leq 3n+1$. On a $m=2n+k$, où $2 \leq k \leq n+1$. Une fois $m$ choisi, il faut compléter avec $n$ éléments de $A_{2n+k-1}$, ce qui laisse $\binom{2n+k-1}{n}$ possibilités, d'où un total de $\sum_{k=2}^{n+1} \binom{2n+k-1}{n}=\sum_{k=1}^{n} \binom{2n+k}{n}$ parties.
Finalement, on aUn élément de $E$ vérifiant $n+1 \leq m \leq 2n+1$ est une partie à $n+1$ de $A_{2n+1}$, et réciproquement une partie à $n+1$ de $A_{2n+1}$ est un élément de $E$ vérifiant $n+1 \leq m \leq 2n+1$.
Par conséquent leur nombre est $\binom{2n+1}{n+1}$ (c'est la formule de Jandri avec $a=n$).
$$
\binom{2n+1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \binom{2n+k}{n}=\binom{3n+1}{n+1}.
$$
Grâce à la relation de Pascal
$$
\binom{2n+1}{n+1}=\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n+1}
$$
d'où finalement
$$
\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+k}{n}=\binom{3n+1}{n+1}-\binom{2n}{n+1}.
$$
J'ai l'impression de passer à côté de quelque chose avec Pascal à la fin...
As-tu une preuve combinatoire pour trouver une formule close de la somme cherchée par Keynes ? Si tu n'en as pas, ce n'est pas la peine que je m'acharne vu mes compétences. Merci
$$
1+\sum_{p=0}^n \sum_{k=0}^p \binom{n}{k}\binom{n+p}{k+p}=1+\sum_{p=0}^n \sum_{k=0}^p \binom{n}{k} \binom{n+p}{n-k}
$$
et tu as utilisé
$$
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+p}{n-k} = \binom{2n+p}{n}
$$
mais ici la somme s'arrête à $p$ et non à $n$. Je sèche aussi.
Je ne pense pas que la somme double proposée ait une forme close (sans sigma).
$$
\sum_{p=k}^n \binom{n+p}{k+p}.
$$
\binom{2n+1}{n+k}-\binom{n+k}{2k-1} \quad\text{ est le résultat de }\quad \sum_{p=k}^n\binom{n+p}{k+p}.
$$ Y.