On se rapproche de l'hypothèse de Riemann !

noix de totos
noix de totos
dans Arithmétique
Bonjour,

Derrière ce titre un brin provocateur, je tenais à signaler à la communauté la toute nouvelle prépublication de Tim Trudgian & David Platt , qui améliore significativement la connaissance des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann sur la "droite critique".

Réponses

  • michael
    michael
    Avant de voir que tu étais l'auteur de ce message, noix de totos, je me suis dit : "ah tiens, encore un fil à déplacer dans Shtam".
    Comme quoi, le titre est provocateur juste comme il faut ;-)
  • gai requin
    gai requin
    Up to $3\cdot 10^{12}$...
    C'était combien avant ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Par simple curiosité, a-t-on une idée le la façon dont croit la partie imaginaire ? Ne serait que sous forme de conjecture ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • nodgim
    nodgim
    En dépit du titre, on ne s'approche nullement de la preuve.....
  • Poirot
    Poirot
    @Rescassol : tu peux préciser ta question ? La partie imaginaire de quoi doit croître comment ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    La partie imaginaire des zéros de la droite critique.
    Par exemple, croit on que la série des $\dfrac{1}{\gamma}$ converge ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • noix de totos
    noix de totos
    Gai requin : c'est écrit dans l'article.

    Rescassol, tu peux lire ça : https://www.emis.de/journals/AMEN/2012/100927-1.pdf

    Au fait, je répète ce que j'ai écrit : le titre est évidemment une provocation.
  • Cere
    Cere
    Bonjour, je ne suis pas un expert en arithmétique, ni même un amateur mais comme cité dans l'article, je me rappelais que Xavier Gourdon avait vérifié l'hypothèse jusqu'à $10^{13}$ en 2004. Leur papier a vérifié jusqu'à $3\times10^{13}$.

    Ma question est la suivante : ce genre de publication n'est pas relativement pauvre en terme de recherche et d'innovation ?
    J'ai juste l'impression que que la plus grande difficulté de l'article, c'était d'avoir l'accès à un supercalculateur.
    C'est vraiment une amélioration significative de la connaissance des zéros non triviaux ?

    PS: Je ne suis pas la pour provoquer, mais pour apprendre et échanger.
  • Poirot
    Poirot
    @Cere : tu devrais lire l'article en question, qui explique très clairement les améliorations par rapport aux travaux précédents.
  • Cere
    Cere
    @Poirot
    Le résultat est vérifié jusqu'à une plus haute valeur, les anciens résultats n'avaient pas été publiés dans un journal mathématiques revu par un comité de lecture (celui là non plus, il est pour l'instant juste sur Arxiv) et on ne savait pas comment étaient gérés les problèmes d'approximation numérique.
    J'ai raté quelque chose d'autre ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Je complète le propos de Poirot :

    1. D'un premier abord, je suis d'accord avec ce que tu dis : on montre les performances améliorées des machines (mais pas seulepent : lis la page 2, en particulier).

    2. Ce que les néophytes ne voient sans doute pas, c'est :

    (2.1) L'amélioration, souvent profonde, des outils sous-jacents, dont certains sont donnés dans (1) et le Corollary 1 (mais ce n'est que la partie visible de l'iceberg).

    (2.2) En retour, la connaissance de plus en plus grande du nombre de zéros non-triviaux de $\zeta$ (dont la partie imaginaire est) entre $1$ et $H$ permet d'obtenir de substantielles améliorations dans les estimations explicites des fonctions usuelles des nombres premiers. Cela sert à :

    (2.2.1) Conforter les chercheurs dans les résultats non explicites (parfois même non effectifs) obtenus les décennies précédentes ;

    (2.2.2) Jeter une lumière nouvelle sur la répartition (au sens large) des nombres premiers ;

    (2.2.3) Améliorer notre connaissance sur les zéros non triviaux de $\zeta$ sur la droite $\sigma = \frac{1}{2}$. Le cercle est bouclé !

    Il y a actuellement de gros enjeux dans la recherche de résultats explicites de la plupart des théorèmes d'arithmétique. Trudgian \& Platt sont parmi ceux qui, en ce moment, obtiennent des résultats très significatifs.
  • Sylvain
    Sylvain
    J'ai vu ce preprint ce matin. Je suis heureux de l'enthousiasme de noix de totos mais ne le partage pas, cela dit je ne veux pas plomber l'ambiance alors j'en resterai là.
  • noix de totos
    noix de totos
    Contrairement à ce que certains semblent croire ici, il s'agit d'une vraie avancée dans le domaine considéré (sinon, je n'aurais pas ouvert un sujet pour ça).
  • Sylvain
    Sylvain
    Bon, c'est vrai que $\Lambda\leq 0,2$ c'est un progrès. Il me semble que Tao avait dit que la majoration de cette constante était proportionnelle à l'inverse du logarithme de la hauteur jusqu'à laquelle RH est vérifiée non ?
  • nodgim
    nodgim
    @ Noix de toto :

    "Il y a actuellement de gros enjeux dans la recherche de résultats explicites de la plupart des théorèmes d'arithmétique."

    Comme quoi par exemple ?
  • noix de totos
    noix de totos
    Un exemple simple : le théorème des nombres premiers (TNP).

    On sait que si l'on suit la démonstration classique, on obtient des constantes horribles. Il faut donc ré-inventer en quelque sorte une preuve du TNP qui permette d'obtenir des résultats satisfaisants et utilisables comme je l'ai expliqué ci-dessus.

    Trudgian a fait ça, récemment, Dusart également.
  • noradan
    noradan
    Juste une question.

    Quelle définition de $\zeta$ prend-on dans ce genre de question ?
    Je ne connais que la définition classique avec le prolongement à $\Re s>0$ par une série mais la convergence est bien trop lente pour être efficace.
    Il se trouve que je fais en python avec mes élèves la recherche des zéros de $\zeta$ à l'aide de l'intégrale sur un cercle de $\zeta'/\zeta$ histoire d'illustrer diverses méthodes d'intégration numérique.
    Ça fonctionne mais c'est quand même pas top !
    J'aimerais bien quelque chose qui converge plus vite et qui ne soit pas trop compliqué.
    J'avais bricolé il y a quelques temps une série en $n^{-s-2}$ (et donc qui converge jusqu'en -1) mais c'est assez moche.

    Donc si quelqu'un avait quelque chose de sympa à me proposer...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Noradan
    Tu veux dire quelle formule est utilisée ?
    Parce qu'à ma connaissance, il n'y a qu'une seule définition pertinente de la fonction $\zeta$ :
    $\zeta$ est la fonction holomorphe définie sur l'ensemble des nombres complexes privé de $1$ qu'on obtient en prolongeant la fonction holomorphe définie sur les nombres complexes $s$ tels que $\Re(s)>1$ par $\displaystyle s\rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}.$

    Cela appelle plusieurs commentaires.
    Ce prolongement est unique : si on obtient une deuxième fonction par prolongement alors elle est identiquement égale à $\zeta$ sur $\mathbb{C}\setminus\{1\}$. On ne peut pas prolonger cette fonction à l'ensemble des nombres complexes en entier.
  • noix de totos
    noix de totos
    Pour ce genre de recherches, i.e. les zéros non-triviaux de $\zeta$, on prend une "variante" de la fonction $\zeta$, à savoir la fonction $Z$ de Hardy et on détecte les changements de signes de cette fonction sur l'axe $\sigma = \frac{1}{2}$ : chaque changement de signe, un zéro possible est détecté.

    Pour des petits tests python sans prétention, on peut prendre le développement de $\zeta$ obtenu avec la formule d'Euler-Mclaurin.
  • Poirot
    Poirot
    Si je ne m'abuse, toutes les recherches effectives de zéros de $\zeta$ passent par ce qu'on appelle la formule de Riemann-Siegel (découverte par Riemann, mais non publiée, retrouvée par Siegel dans les brouillons de Riemann). Elle permet une évaluation "rapide" de la fonction $Z$ dont parle ndt.

    L'idée pour vérifier l'hypothèse de Riemann jusqu'à une certaine borne est simplement de comparer le nombre de zéros donnés par le principe de l'argument (l'intégrale de $\frac{\zeta'}{\zeta}$ sur des rectangles bien choisis) et le nombre de changement de signe de la fonction $Z$, qui a le bon goût d'être une fonction réelle de la variable réelle, et qui s'annule précisément là où $\zeta$ s'annule sur la droite critique.
  • Sylvain
    Sylvain
    Du nouveau : https://arxiv.org/abs/2005.05142
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