Méthode de l'hyperbole
dans Arithmétique
Bonsoir,
Je cherche une démonstration de la formule suivante :
$ \forall x \geq 1, \forall y>x, S_{f\ast g} (x) = \sum\limits_{1\leq n \leq y} g(n)S_f (\frac{x}{n} )+ \sum\limits_{1\leq n \leq \frac{x}{y} } f(n) S_g (\frac{x}{n}) - S_f (\frac{x}{y})S_g (y) $
Avec : $ S_h (x) = \sum
\limits_{n \leq x} h(n) $ et ' $ \ast $ ' la convolution de Dirichlet définie par : $ (f\ast g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $
En auriez-vous une à me fournir ? Merci d'avance.
Je cherche une démonstration de la formule suivante :
$ \forall x \geq 1, \forall y>x, S_{f\ast g} (x) = \sum\limits_{1\leq n \leq y} g(n)S_f (\frac{x}{n} )+ \sum\limits_{1\leq n \leq \frac{x}{y} } f(n) S_g (\frac{x}{n}) - S_f (\frac{x}{y})S_g (y) $
Avec : $ S_h (x) = \sum
\limits_{n \leq x} h(n) $ et ' $ \ast $ ' la convolution de Dirichlet définie par : $ (f\ast g)(n)= \sum\limits_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $
En auriez-vous une à me fournir ? Merci d'avance.
Réponses
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Il y a une démonstration dans ce livre, théorème 4.28 page 107.
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Merci pour la référence, mais si vous pouviez me donner la donner la démonstration en elle même cela me conviendrait mieux ( à vrai dire je n'ai pas les moyens de m'acheter un livre pour un unique théorème... )
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Tu l'as ici.
C'est d'ailleurs le même auteur.
À propos, dans ton premier message, le paramètre, ici $y$, doit être inférieur à $x$ et non supérieur. -
Bonjour noix de totos,
Quelles sont les différences entre les versions française et anglaise de ces thèmes d'arithmétique ? -
La version chez Ellipses est en fait restreinte au niveau Bac + 2. Donc pas (ou pratiquement pas) de série de Dirichlet, de sommes d'exponentielles, d'analyse complexe, etc, on reste essentiellement sur ce que l'on a coutume d'appeler la "théorie élémentaire des nombres", sans utiliser la théorie des fonctions.
Celui de Springer va nettement plus loin.
Ceci dit, pour débuter, mieux vaut l'Ellipses. -
Recommander un livre d'Ellipses qui pratique l'ellipse pour présenter la méthode de l'hyperbole ne manque pas de sel.
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Oui, c'est très excentrique...
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:-)
Merci noix de totos, je viens de voir qu'on fait même un petit tour du côté des corps de classes sur $\Q$ dans la version anglaise ! -
Exact.
Je crois même que l'auteur prépare une seconde édition du Springer fortement remaniée et modifiée à plus de 75%. -
C'est bon à savoir ! :-)
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J'espère que l'auteur a décidé d'aller encore plus loin en théorie algébrique des nombres. ;-)
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Ça, aucune idée, mais si j'en juge par la présente édition, il s'agit le plus souvent de théorie analytique appliquée à la théorie algébrique.
Il faut bien reconnaître qu'il est très difficile actuellement d'obtenir de nouveaux résultats significatifs en théorie algébrique des nombres, surtout sans le recours à la théorie analytique. On trouve quand même parfois des preprints qui ajoutent quelques lumières sur des sujets qu'on croyait pourtant bien connus depuis longtemps : https://arxiv.org/pdf/2005.01300.pdf
Mais là, on a pas mal dévié du sujet initial de ce fil... -
Une bien belle formule discriminantielle.
Merci d'avoir dégoté de quoi occuper une partie de ma journée... -
Bonsoir noix de totos,
L'article de Jakhar and co sur certains (pas tous, mais presque ?) discriminants de corps de nombres purs repose sur deux théorèmes de Ore appliqués au $p$-polygone de Newton associé à un polynôme de $\Z[X]$ (p.4).
Je n'ai rien trouvé d'élémentaire sur ces théorèmes.
Connaîtrais-tu une référence qui m'a échappé ? -
Quitte à parler du principe de l'hyperbole de Dirichlet et d'O. Bordellès. En 2009, il avait publié un article sur le problème des diviseurs de Dirichlet pour ceux que ça peut intéresser.
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Salut Gai-Requin
Mais non je n'ai pas perdu la boule : je sais bien que je ne suis pas Ndt. Je me permets tout de même de répondre à ta question (du moins, essayer).
J'ai sous les yeux l'article de Jesus Montes & Enric Nart ``On a theorem of Ore'', Journal of Algebra, 146 318-334 (1992). Peux tu y jeter un oeil si c'est accessible ? (avec mon navigateur obsolète ..etc...). De manière générale, les espagnols Guardia, Montes, Nart ont beaucoup travaillé sur le calcul de la clôture intégrale en théorie des nombres, cf par exemple https://arxiv.org/pdf/1005.4596.pdf -
Merci Claude,
La fin de l'introduction de "On a theorem of Ore" donne l'eau à la bouche !
We think that our result can be a key step to develop a very fast algorithm for obtaining prime ideal decomposition and integral basis. The major virtue of the algorithm will be that only polynomial-factoring routines over finite fields are needed. -
Claude Quitté a été plus rapide que moi, mais c'est bien cet article que j'aurais également indiqué.
Il m'a servi en particulier à obtenir des décompositions d'idéaux entiers de la forme $p \mathcal{O}_K$ en idéaux premiers dans le cas où $p$ divise l'indice $f$ du corps de nombres $K$.
À Rémi : effectivement, le principe de Dirichlet est quasiment né avec le problème des diviseurs de Dirichlet. Il a été ensuite étendu à tout produit de convolution de Dirichlet.
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Bonjour!
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